不能写出完整的矩阵，要如何用Mathematica来运算？

abababa

thread-14001-1-1.html
原题目如上链接，具体的矩阵（行列式）如下：
\[
\begin{vmatrix}
\binom{n+m}{n} & \binom{n+m}{n+1} & \binom{n+m}{n+2} & \cdots & \binom{n+m}{n+k-1}\\
\binom{n+m}{n-1} & \binom{n+m}{n} & \binom{n+m}{n+1} & \cdots & \binom{n+m}{n+k-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\
\binom{n+m}{n-k+2} & \binom{n+m}{n-k+3} & \binom{n+m}{n-k+4} & \cdots & \binom{n+m}{n-1}\\
\binom{n+m}{n-k+1} & \binom{n+m}{n-k+2} & \binom{n+m}{n-k+3} & \cdots & \binom{n+m}{n}
\end{vmatrix}
\]

这个矩阵是对一般的正整数$m,n,k$，输入时不能输入完整的矩阵。请教在Mathematica里要怎么输入这种矩阵，来求它的行列式，或者让它参与一些运算，比如矩阵乘法、求逆之类的。

hbghlyj

对于较大的 k 值，符号 m,n 计算可能非常慢，因此提供了数值版本

1. (* Define the matrix with binomial coefficients *)
2. (* The matrix is k×k where each element (i,j) is Binomial[n+m, n+1-i+j-1] *)
4. BinomialMatrix[n_, m_, k_] := Table[
5.   Binomial[n + m, n - i + j],
6.   {i, k}, {j, k}
7. ]
9. (* Calculate the determinant *)
10. BinomialDeterminant[n_, m_, k_] := Det[BinomialMatrix[n, m, k]]
12. (* Example usage with specific values *)
13. (* For a 3×3 matrix with n=2, m=3, k=3 *)
14. exampleMatrix = BinomialMatrix[2, 3, 3]
15. exampleDet = BinomialDeterminant[2, 3, 3]
17. Print["Example 3×3 matrix:"]
18. Print[exampleMatrix // MatrixForm]
19. Print["Determinant: ", exampleDet]
21. (* General symbolic computation (for small k) *)
22. (* Note: For large k, this may take a long time to compute symbolically *)
23. GeneralDeterminant[k_] := Det[Table[
24.   Binomial[n + m, n - i + j],
25.   {i, k}, {j, k}
26. ]]
28. (* For numerical evaluation with specific parameters *)
29. NumericalDeterminant[nVal_, mVal_, kVal_] :=
30.   Det[Table[Binomial[nVal + mVal, nVal + 1 - i + j - 1], {i, 1, kVal}, {j, 1, kVal}]]
32. (* Test with some small values *)
33. Print["Determinant for k=2: ", GeneralDeterminant[2]]
34. Print["Determinant for k=3: ", GeneralDeterminant[3]]
36. (* For larger matrices, use numerical values *)
37. Print["Numerical example (n=5, m=4, k=5): ",
38.       NumericalDeterminant[5, 4, 5]]

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abababa

hbghlyj 发表于 2025-6-22 07:26
对于较大的 k 值，符号 m,n 计算可能非常慢，因此提供了数值版本

你这个只是算了一些具体的数值，主楼的问题是对一般的m,n,k如何计算，也就是说计算结果一般地应该是含有m,n,k的表达式。