来自人教群昨晚的$a\le2b,b\le2c,c\le2a$最小值

kuing

浙C教师木目(5228***) 0:18:48

kk有空么？

\(\newcommand\piand\partial\)
全靠这题，让我发现十个月前的这贴 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3010 解错了。

这里也继续沿用那贴中修正后的方法。

由于条件对 $a$, $b$, $c$ 是轮换对称的，不失一般性，设 $a=\max\{a,b,c\}$，并设 $b=ta$, $c=ua$，则 $t$, $u\leqslant 1$，代入条件中的不等式得 $1\leqslant 2t$, $t\leqslant 2u$，即 $t$, $u$ 应满足 $1/2\leqslant t\leqslant 1$, $t/2\leqslant u\leqslant 1$。

代入条件中的等式有 $a(1+t+u)=10$，故
\[abc=a^3tu=1000\cdot\frac{tu}{(1+t+u)^3}=1000\cdot g(t,u),\]
求导有
\[\frac{\piand g}{\piand u}=\frac{(1+t-2u)t}{(1+t+u)^4},\]
由于 $t/2<(1+t)/2\leqslant 1$，故此，当 $t$ 固定时，$g(t,u)$ 当 $u\in[t/2,(1+t)/2]$ 时递增，当 $u\in[(1+t)/2,1]$ 时递减，所以必有
\[g(t,u)_{\min}=\min \left\{ g\left( t,\frac t2 \right),g(t,1) \right\}=\min \left\{ \frac{4t^2}{(2+3t)^3},\frac t{(2+t)^3} \right\},\]
对两者分别求导有
\begin{align*}
\left( \frac{4t^2}{(2+3t)^3} \right)'&=\frac{4t(4-3t)}{(2+3t)^4}>0, \\
\left( \frac t{(2+t)^3} \right)'&=\frac{2(1-t)}{(2+t)^4}\geqslant 0,
\end{align*}
可见取最小值时必然 $t=1/2$，代入得
\[g(t,u)_{\min }=\min \left\{ \frac8{343},\frac4{125} \right\}=\frac8{343},\]
取等条件为 $t=1/2$, $u=1/4$，所以 $abc$ 的最小值为 $8000/343$，当 $a=40/7$, $b=20/7$, $c=10/7$ 及其轮换时取得。

goft

感谢kk付出，下面的证法也不错哦

这个证法好像也不错

kuing

回复 2# goft

O，看样子是先猜到结果再去证明，还是不错的。
PS、最后的取等条件似乎反了。

goft

取等条件应该是取到两个等号，我在想有没有调整法或者线性规划法搞得更快点的方法

isee

回复 2# goft

手写体啊，这是学生的字，还是大人的字哦？

kuing

回复 5# isee

话说你能看清他的签名么？

goft

不知道呀，我觉得我的字也差不多这样子，挺难看的

isee

摆明是王文昊

kuing

回复 8# isee

soga...

isee

回复 7# goft


    cute....

hejoseph

把条件改为 $a+b+c=t$，且 $a\leqslant kb$，$b\leqslant kc$，$c\leqslant ka$。

设
\[
\left\{
\begin{aligned}
kb - a &= x ，\\
kc - b &= y ，\\
ka - c &= z ，
\end{aligned}
\right.
\]
其中 $x$，$y$，$z$ 都是非负数。解这个方程组，得
\[
\left\{
\begin{aligned}
a &= \frac{x + ky + k^2 z}{k^3 - 1} ，\\
b &= \frac{k^2 x + y + kz}{k^3 - 1} ，\\
c &= \frac{kx + k^2 y + z}{k^3 - 1} ，
\end{aligned}
\right.
\]
于是
\[
x + y + z = \left(k - 1\right)t，abc = \frac{\left(x + ky + k^2 z\right)\left(k^2 x + y + kz\right)\left(kx + k^2 y + z\right)}{\left(k^3  - 1\right)^3}，
\]
根据 Carlson 不等式，得
\begin{align*}
& \left(x + ky + k^2 z\right)\left(k^2 x + y + kz\right)\left(kx + k^2 y + z\right) \\
\geqslant{}& \left(\sqrt[3]{x \cdot k^2 x \cdot kx} + \sqrt[3]{ky \cdot y \cdot k^2 y} + \sqrt[3]{k^2 z \cdot kz \cdot z}\right)^3 \\
={}& k^3 \left(x + y + z\right)^3，
\end{align*}
所以
\[
abc \geqslant \left(\frac{kt}{k^2  + k + 1}\right)^3，
\]
其中当
\[
a = \frac{k^2t}{k^2  + k + 1}，b = \frac{kt}{k^2  + k + 1}，c = \frac{t}{k^2  + k + 1}
\]
或
\[
a = \frac{kt}{k^2  + k + 1}，b = \frac{t}{k^2  + k + 1}，c = \frac{k^2t}{k^2  + k + 1}
\]
或
\[
a = \frac{t}{k^2  + k + 1}，b = \frac{k^2t}{k^2  + k + 1}，c = \frac{kt}{k^2  + k + 1}
\]
时取得等号，所以 $abc$ 的最小值是
\[
\left(\frac{kt}{k^2  + k + 1} \right)^3。
\]

kuing

回复 11# hejoseph

very nice!

isee

回复 12# kuing


    我觉得是2楼解法的加强啊，看来这是一种通法，值得学习。

其妙

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