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写一下母函数的方法。
设这四个不同正整数为 $a$, $b$, $c$, $d$，由对称性不妨设 $1\leqslant a<b<c<d$。
（1）若这四个数全为偶数，可设 $a=2(1+x)$, $b=2(2+x+y)$, $c=2(3+x+y+z)$, $d=2(4+x+y+z+w)$，其中 $x$, $y$, $z$, $w\in\mbb N$，则
\[a+b+c+d=1000 \iff 4x+3y+2z+w=490,\]
即此类四元数组的个数为方程 $4x+3y+2z+w=490$ 的非负整数解的组数，即
\[(1+x+x^2+\cdots)(1+x^2+x^4+\cdots)(1+x^3+x^6+\cdots)(1+x^4+x^8+\cdots)\]
的展开式的 $x^{490}$ 项的系数，亦即
\[\frac1{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\]
的展开式的 $x^{490}$ 项的系数；
（2）若这四个数全为奇数，可设 $a=2(1+x)-1$, $b=2(2+x+y)-1$, $c=2(3+x+y+z)-1$, $d=2(4+x+y+z+w)-1$，其中 $x$, $y$, $z$, $w\in\mbb N$，则
\[a+b+c+d=1000 \iff 4x+3y+2z+w=492,\]
即此类四元数组的个数为方程 $4x+3y+2z+w=492$ 的非负整数解的组数，类似于（1）那样，即为
\[\frac1{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\]
展开式的 $x^{492}$ 项的系数。
综合（1）（2），可知题目所求的数目，即两类四元数组的个数之和，乃是
\begin{align*}
f(x)&=\frac{x^2}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}+\frac1{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\\
&=\frac1{(1-x)^4(1+x)^2(1+x+x^2)}
\end{align*}
的展开式的 $x^{492}$ 项的系数。
设 $f(x)$ 展开成部分分式为
\[f(x)=\frac A{(1-x)^4}+\frac B{(1-x)^3}+\frac C{(1-x)^2}+\frac D{1-x}
+\frac E{(1+x)^2}+\frac F{1+x}+\frac G{1-\omega x}+\frac H{1-\omega^2x},\]
其中 $\omega=\cos120\du+\sin120\du\cdot i$。可以计算出
\[A=\frac{1}{12},B=\frac{1}{6},C=\frac{29}{144},D=\frac{3}{16}, E=\frac{1}{16},F=\frac{3}{16},G=\frac{3+\sqrt3i}{54},H=\frac{3-\sqrt3i}{54}.\]（不知有没有什么简单的算法？上面这步我用软件求的）
我们将各项分别展开再求和，为此先搞一个展开公式，设 $g(x)=(1-kx)^\alpha$，易得其 $n$ 阶导数为
\[g^{(n)}(x)=(-k)^n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1-kx)^{\alpha-n},\]
于是 $g(x)$ 在 $x=0$ 处的展开式为
\[g(x)=1+(-k)\alpha x+\frac{(-k)^2\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+ \frac{(-k)^p\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-p+1)}{p!}x^p+\cdots,\]
特别地，当 $\alpha =-m-1$, $m\in\mbb N$ 时，就得到展开公式
\begin{align*}
\frac1{(1-kx)^{m+1}}&=1+k(m+1)x+\frac{k^2(m+1)(m+2)}{2!}x^2+\cdots+ \frac{k^p(m+1)(m+2)\cdots(m+p)}{p!}x^p+\cdots\\
&=1+\binom{m+1}1kx+\binom{m+2}2k^2x^2+\cdots+\binom{m+p}pk^px^p+\cdots\\
&=\sum_{p=0}^\infty\binom{m+p}mk^px^p,
\end{align*}
于是
\begin{align*}
f(x)=\sum_{p=0}^\infty\left( A\binom{3+p}3+B\binom{2+p}2+C(1+p)+D +E(1+p)(-1)^p+F(-1)^p+G\omega^p+H\omega^{2p}\right)x^p,
\end{align*}
令 $p=492$ 即得 $f(x)$ 展开式的 $x^{492}$ 项的系数为
\[A\binom{495}3+B\binom{494}2+493C+D +493E+F+G+H,\]
代入前面计算出的系数值即得结果为 $1694777$。 |
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kuing
发表于 2014-1-4 22:18
乌贼
发表于 2014-1-5 02:25
