来自人教论坛的圆内定点对弦张角垂直求弦长范围

kuing

链接：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2930517
发贴ID：3532855
原标题：求线段AB长度的取值范围。

如图，$D$, $E$ 为中点，由中线长公式有
\[DE^2=\frac{2DO^2+2DC^2-OC^2}4=\frac{2DO^2+2DA^2-OC^2}4=\frac{2OA^2-OC^2}4,\]
故 $D$ 的轨迹为以 $E$ 为圆心的圆，$AB=2CD$，下略。

kuing

其实以前可能写过同样的东西，算了，懒得找链接了……

isee

仅就解析法来说，依题$\angle ACB=90^\circ$，取$AB$中点$D$，则\[AB=2CD\]转化为求$CD$的范围，亦是求$AB$中点$D$的轨迹。与主楼思路完全一致。

而这，是解析几何基础。

设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),D(x_0,y_0),x_1+x_2=2x_0,y_1+y_2=2y_0$，
\begin{align*}
CA \perp CB \iff \vv {CA}\cdot \vv{CB}&=0\\
\Rightarrow 1-(x_1+y_1)+x_1x_2+y_1y_2&=0\\
x_1x_2+y_1y_2&=2x_0-1\\
x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2&=8\\
4x_0^2-2x_1x_2+4y_0^2-2y_1y_2&=8\\[2em]
\Rightarrow x_0^2+y_0^2-x_0-\frac 32&=0
\end{align*}
下略

wzxsjz

只需考虑弦心距[1,3]

乌贼

思路一样，求$AB$是求$BD$（$D$为$AB$中点）也是求$OD$,设$D(x,y)$
\[BD^2=OB^2-OD^2=DC^2\riff\\4-x^2-y^2=(x-1)^2+y^2\riff\\(x-\frac12)^2+y^2=\frac74\]……

kuing

回复 5# 乌贼

也行
PS、其妙又看不到你的公式了

其妙

回复 6# kuing
办公室的电脑能看公式,不知家里的行不行,
最后取值范围是多少?

kuing

回复 7# 其妙

嗯，应该跟浏览器有关。我这里用 IE 就会看不到5#的公式，用 chrome 就没问题。

isee

回复 8# kuing


IE 8需要兼容模式才能看到5楼公式，（3楼都可以见），可见或是乌贼代码写得太暴力了，或者是论坛自定义代码引起的

kuing

回复 9# isee

跟自定义代码没关，是 \ [ ... \ ] 中直接用 \\ 断行就会这样，比如说 \ [ a \\ b \ ] 显示：\[ a \\ b \]

isee

回复 10# kuing

那就是强制断行太暴力了

isee

只需考虑弦心距[1,3]
wzxsjz 发表于 2013-12-17 10:40

这个思想也不错，不过，弦心距范围是否不正确。

解析后的结果是 $[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1]$

乌贼

回复 6# kuing
那要在环境中断行

其妙

回复  乌贼

也行
PS、其妙又看不到你的公式了
kuing 发表于 2013-12-17 15:17

果然在家里电脑不能看见公式！家里的是IE10，办公室的是IE8

其妙

现在明白了，不管哪个IE，只要点一下兼容性试图，就可以兼容旧版了~，
现在家里的也行了！

kuing

回复 12# isee

看到这个 $\sqrt7$ 才想起这个等价题：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1442433

isee

回复 16# kuing

正想向量几何法呢。

在向量的包装下，好看些。

这都能找到，狠

爪机专用

回复 17# isee

用向量来出的那题在那段时间是FAQ，记录了的。

乌贼

圆的第三定义：到两定点距离的平分和为定值的点的轨迹。

其妙

这里也有个类似的bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2446848&extra=page%3D1&page=1

下面用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，就可以得到答案：

设$D$为$AB$的中点，$AB=l$，则$OD=\sqrt{4-\dfrac {l^2}4}$，$CD=\dfrac l2$，

由三角不等式得，$OD\geqslant CD-OC$得，$\sqrt{4-\dfrac {l^2}4}\geqslant\dfrac{l-2}2$，

解得$1-\sqrt7\leqslant l\leqslant1+\sqrt7$……（1），

由$OD\leqslant CD+OC$得，$\sqrt{4-\dfrac {l^2}4}\leqslant\dfrac{l+2}2$，

解得$l\geqslant\sqrt7-1$ 或$l\leqslant-1-\sqrt7$……（2），
由（1）（2）得，
$\sqrt7-1\leqslant l\leqslant\sqrt7+1$.