2014年北京卷理科第19题——椭圆与定直线一点连，垂于$O$

isee

我说录一份试卷吧，结果，现在都没有人传扫描版，或者图片版的北京卷理科卷呢。


发这里的主要原因是督促自己找一下这题的有没有高观下的“解释”。


北京理科第19题，这解析几何跟平时练的形式上差太多。

已知椭圆$C:x^2+2y^2=4$。
（1）求椭圆$C$的离心率；
（2）设$O$为坐标原点，若点$A$在椭圆$C$，点$B$在直线$y=2$上，且$OA\perp OB$，求直线$AB$与圆$x^2+y^2=2$的位置关系，并证明你的结论。

略解，（1）跳过，从（2）开始。

（2）既然这么多点，那直接设点，解方程得了——$A(m,n),B(t,2)$，则
\[\vv {OA}\cdot \vv{OB}=0\Rightarrow mt+2n=0\]
又
\[m^2+2n^2=4\]
这两关系式，先搁这里，备用。

直线$AB$可写为(就是将两点式化为积的形式，避开分母为零，且先不动括号）
\[(n-2)x-(m-t)y+2(m-t)-t(n-2)=0\]

于是原点到直线$AB$的距离的平方为，并部分化简：

\[d^2=\frac{(2(m-t)-t(n-2))^2}{(n-2)^2+(m-t)^2}=\frac {(2m-tn)^2}{m^2+t^2+n^2+4}\]

观察分子，及备用两个关系式特点，决定分母先不动，展开分子

\[d^2=\frac {4m^2+8n^2+t^2n^2}{m^2+t^2+n^2+4}=\frac {16+t^2n^2}{m^2+t^2+n^2+4}\]

没什么好说的，分母中的$m$必须byebye了

\[d^2=\frac {16+t^2n^2}{8+t^2-n^2}\]


而再由先前两关系式也将$m$干掉，得到
\[2t^2-t^2n^2-2n^2=0\]

从而
\[d^2=2 \iff d=\sqrt 2\]

直线$AB$与给定的圆（圆心在原点，半径为$\sqrt 2$）相切喽。

算完，收工。

isee

kuing的playing 还未看，不过，此题即便有图片版，他估计也不看的，所以，不会重复，哈哈

那么，如此简化过程呢？

其妙

回复 1# isee
，搞一个一般结论出来噻，

isee

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，搞一个一般结论出来噻，
其妙 发表于 2014-6-9 23:05

大约知道了，不过，未严格证明，也不通俗。



$y=2(a)$是关于椭圆 对应 极点$(0,1(\frac {b^2}a))$的极线，当且仅当，极点$B$关于椭圆的极线，直线$OA$，$y=2(a)$，这三线共点的时候，才有这个圆。


数据要求很苛刻的，出题人很厉害。

isee

算了一下，原来需要离心率为$\dfrac {\sqrt 2}2$，也不难做到，难怪第一问，求离心率的，哈哈。


果然，形缺数时难入微


一般的，保留垂直，
在椭圆$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1，\mathrm{e}=\dfrac {\sqrt 2}2$上一动点$A$，$OB\perp OA$，直线$OB$交直线$y=a$于$B$，
则$AB$与圆$x^2+y^2=b^2$相切，我觉得说$AB$的包络线是这个圆，更好些.



找到一种方向，但是有没有 非解析证明方法呢？

kuing

翻个旧帖吧，稍微一般化地考虑。

设点 $A$ 在椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 上，点 $B$ 在直线 $y=m$（$m\ne0$）上，且 $OA\perp OB$。

设 $A(r\cos \theta ,r\sin \theta )$，代入椭圆中有
\[\frac 1{r^2}=\frac {\cos ^2\theta }{a^2}+\frac {\sin ^2\theta }{b^2},\]
又显然有
\[OB=\left| \frac m{\cos \theta } \right|,\]
设 $O$ 到 $AB$ 的距离为 $h$，则
\[\frac 1{h^2}=\frac 1{r^2}+\frac 1{OB^2}=\frac {\cos ^2\theta }{a^2}+\frac {\sin ^2\theta }{b^2}+\frac {\cos ^2\theta }{m^2}=\left( {\frac 1{a^2}-\frac 1{b^2}+\frac 1{m^2}} \right)\cos ^2\theta +\frac 1{b^2},\]
可见当 $1/a^2-1/b^2+1/m^2=0$ 时恒有 $h^2=b^2$，即此时直线 $AB$ 恒与 $x^2+y^2=b^2$ 相切。

isee

回复 10# kuing


    擦，我昨天回顾这个题了。

    后来，我在某一本数学杂志上看到这个题的一般结论了（高观下的），可惜我只是扫了一眼，已然忘记了。

isee

回复 10# kuing

设A在圆上，代椭圆上，何意？

==========
10点半后更新


哇，这设个极妙！绝赞手法。


然后把直角三角形斜边的上高$\frac 1{h^2}=\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}$，这一设，把这个用活了，如此的轻妙巧！

此时，$$e=\frac bm.$$

kuing

回复 12# isee

这不过是常规方法啊，你记不记得这道题：
「椭圆上两点 $A$, $B$ 满足 $OA\perp OB$，则 $O$ 在 $AB$ 上的射影的轨迹是圆。」
这题你肯定是见过的，其处理方法也就是上面10#那种方法，所以也可以说1#这道高考题不过是这道经典题的变式而已。

isee

回复 13# kuing


    见过，不过，好像都是用的面积求高，这个直角三角形斜边上的高的平方的倒数几何性质——虽然与面积式等价——在解析几何里用还真是初见，的确方便。学习了。

    另外，10#如果用极坐标写，更加自然。

其妙

回复 14# isee
极坐标就是唬人的，不就是一个三角换元么？

其妙

回复 12# isee
的确把这个结论用活了，估计大家都想到了这个结论，只是一看明显不对头，掉头就走了，而kk却觉得这就是金矿，迟迟不肯走开，继续挖掘，就挖到金矿了！（类似于某年高考题：这个地方没有水，换个地方再挖！）

溦澜居士

isee wrote at 2018-2-6 07:49
回复 10# kuing

这个?前段时间刚看到的