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wzxsjz
f(x)=arcsin(cosx), 则f(f(f(x)))的最小正周期是________
求过程，谢谢了！
链接：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2872563
原题的解答已经在链接的2#里有了，这里就不再详写，这里我就扯扯f(x)迭代式的具体表达式。
\(\newcommand\sgn{\mathrm{sgn}}\)
这里记符号函数为 $\sgn$，即 $\sgn(x)=\begin{cases}
1,&x>0,\\
0,&x=0,\\
-1,&x<0.
\end{cases}$由此易得 $\abs x=\sgn(x)\cdot x$。
又记 $f(x)$ 的 $n$ 次迭代为 $f^n(x)$，即 $f^n(x)=\underbrace{f(f(\cdots f(x)\cdots))}_{n~\text{层括号}}$。
注意到恒等式 $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$，于是
\begin{align*}
f(x)&=\arcsin(\cos x),\\
f^2(x)&=\arcsin(\cos(\arcsin(\cos x)))\\
&=\arcsin\sqrt{1-\cos^2x}\\
&=\arcsin\abs{\sin x}\\
&=\sgn(\sin x)\arcsin(\sin x),\\
f^3(x)&=f^2(f(x))\\
&=\sgn(\sin(\arcsin(\cos x)))\arcsin(\sin(\arcsin(\cos x)))\\
&=\sgn(\cos x)\arcsin(\cos x)\\
&=\sgn(\cos x)f(x),\\
f^4(x)&=f(f^3(x))\\
&=\arcsin(\cos(\sgn(\cos x)f(x)))\\
&=\arcsin(\cos(f(x)))\\
&=f^2(x),
\end{align*}
如此即得，当 $n\geqslant4$ 时 $f^n(x)=f^{n-2}(x)$，故此，设 $k\in\mbb N^+$，则
\[f^n(x)=\begin{cases}
\arcsin(\cos x),&n=1,\\
\sgn(\sin x)\arcsin(\sin x),&n=2k,\\
\sgn(\cos x)\arcsin(\cos x),&n=2k+1.
\end{cases}\]
或者干脆写回绝对值，即
\[f^n(x)=\begin{cases}
\arcsin(\cos x),&n=1,\\
\arcsin\abs{\sin x},&n=2k,\\
\arcsin\abs{\cos x},&n=2k+1.
\end{cases}\] |
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