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源自知乎提问，真的没有料到直接证明还挺麻烦的
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题：点 $D$ 为 $\text{Rt}\triangle ABC$ 斜边 $BC$ 上一点，满足 $AB=DC,$ $\angle BAD=60^\circ,$ 求证 $\angle C=30^\circ.$
要直接证法，那就上三角.
记 $\angle C=x,$ 则 $\angle B=90^\circ-x,$ $\angle BDA=x+30^\circ.$
于是由正弦定理有
$$\frac {\sin(x+30^\circ)}{\sin (90^\circ-x)}=\frac {AB}{AD}=\frac {DC}{AD}=\frac {\sin 30^\circ}{\sin x }.$$
三角展开化为整式 $\sqrt 3\sin^2 x+\sin x\cos x=\cos x,$ 即
$$\left(\sqrt 3\sin^2x\right)^2=\cos^2 x(1-\sin x)^2=(1-\sin^2 x)(1-\sin x)^2,$$
再记 $\sin x=y\in (0,1),$ 去括号整理即为
$$4y^4-2y^3+2y-1=0,$$
分解因式 $(2y-1)(2y^3+1)=0,$ 所以 $\sin x=y=\frac 12,$ 即 $\frac {\pi}2>\angle C=x=\frac {\pi}6.$ |
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