|
|
对$S\subseteq \{1,2,\dots,n\}$定义$$a_{S}=(-1)^{\lfloor |S|/2\rfloor}\prod_{i\in S} \tan x_i$$
由$\cos\left(x_{1}+\cdots+x_{n}\right)+i\sin\left(x_{1}+\cdots+x_{n}\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(\cos x_{k}+i\sin x_{k}\right)$得
$$\cos(x_1+\cdots x_n)=(\cos x_1\cdots\cos x_n)\sum_{|S|\text{ even}}a_S$$
和
$$\sin(x_1+\cdots x_n) =(\cos x_1\cdots\cos x_n) \sum_{|S|\text{ odd}}a_S$$
两式相除,
$$\tan(x_1+\cdots x_n) =\frac{\sum_{|S|\text{ odd}}a_S}{\sum_{|S|\text{ even}}a_S}$$
这就是$n$角和的正切公式.
设$2n+1$边形关于内切圆圆心的环绕数为$I$, 则
$$\tan^{-1}\frac{t_1}r+\dots+\tan^{-1}\frac{t_{2n+1}}r=πI$$
对$\tan^{-1}\frac{t_1}r,\dots,\tan^{-1}\frac{t_{2n+1}}r$使用$2n+1$角和的正切公式,
$$0=\tan\left(\tan^{-1}\frac{t_1}r+\dots+\tan^{-1}\frac{t_{2n+1}}r\right) =\frac{\sum_{|S|\text{ odd}}a_S}{\sum_{|S|\text{ even}}a_S}$$
于是$\sum_{|S|\text{ odd}}a_S=0$. 即$$\sum_i\frac{t_i}r-\sum_{|S|=3}a_S+\dots+(-1)^n\frac{t_1}r·\frac{t_2}r\dotsb\frac{t_{2n+1}}r=0$$乘$r^{2n+1}$得到一个关于$r^2$的$n$次方程. [例如,当$n=2$,式\eqref{1}是关于$r^2$的二次方程] |
|
