Bernoulli方程

hbghlyj

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The Bernoulli equation $y' + p(x)\,y = g(x)\,y^\alpha$ can be reduced to a linear differential equation with substitution $u=y^{1−α}$.
Then for $u$ we obtain a linear equation $u' + \left(1 - \alpha \right) p(x)\, u = \left(1 - \alpha \right) g(x)$.
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一阶线性微分方程为
\[\frac{ \mathrm{d}{y} }{ \mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x)\]
其中 $P$ 和 $Q$ 都是所考虑区间上的连续函数。
伯努利微分方程为\[\frac{ \mathrm{d}{y} }{ \mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x)y^n\]
它可以通过变量代换，化为一阶线性微分方程。
MIT18.03-ChenWH

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3.一阶线性ODE\begin{gathered}
y'+p(x)y=q(x)\\
e^{\int p(x)dx}y'+p(x)e^{\int p(x)dx}y=q(x)e^{\int p(x)dx}\\
\left[e^{\int p(x)dx}y\right]'=q(x)e^{\int p(x)dx}\\
y=\frac{1}{e^{\int p(x)dx}}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx\\
\end{gathered}
4.一阶方程换元法
$$
y'+p(x)y=q(x)y^n$$
Let $V=y^{1-n}$
$$\frac{V'}{1-n}=p(x)V+q(x)
$$
7&8.一阶常系数线性方程
\begin{gathered}
y'+ky=k\cos\omega t\\
\widetilde{y}'+k\widetilde{y}=ke^{i\omega t}\\
\left(\widetilde{y}e^{kt}\right)'=ke^{i\omega t+kt}\\
\widetilde{y}e^{kt}=\frac{ke^{(i\omega+k)t}}{k+i\omega}\\
\widetilde{y}=\frac{e^{i\omega t}}{1+i\omega/k}\\
y=\operatorname{Re}\left(\frac{e^{i\omega t}}{1+i\omega/k}\right)\\
\end{gathered}9.二阶常系数齐次线性方程
特解
$$
y=e^{rt}
$$求出 $r$ 满足方程
$$
r^2e^{rt}+Are^{rt}+Be^{rt}=0\\
$$即$$r^2+Ar+B=0$$

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使用常数变易法(Variation of parameters)
把伯努利方程 \( y' + p(x)\,y = g(x)\,y^\alpha \) 的解函数设为 \( y(x) = u(x)\,v(x)\), 其中 $u(x)$ 是齐次方程的解
\[
u' + p(x)\,u = 0 \]分离变量,\[\frac{{\text d}u}{u} = - p(x)\,{\text d}x .
\]积分,
\[
u(x) = \exp \left\{ - \int p(x)\,{\text d}x \right\} .  
\]
将 \( y(x) = u(x)\,v(x)\) 代入方程,
\[uv'+u'v + p(x)\,u\,v = g(x)\,u^\alpha v^\alpha\]
因为 $u'v+p(x)\,u\,v=0$ 方程变成
\[
v'  = g(x)\,u^{\alpha -1} \,v^\alpha  \]分离变量,\[\frac{{\text d}v}{v^{\alpha}} = g(x)\,u^{\alpha -1} \,{\text d}x . \]
积分,
\[
v^{1-\alpha} = \left( 1- \alpha \right) \int g(x)\,u^{\alpha -1} \,{\text d}x  .  
\]
所以
\[
v =\root1-\alpha\of{\left( 1- \alpha \right) \int g(x)\,u^{\alpha -1} \,{\text d}x}
\]最后, 代入 $y(x) = u(x)\,v(x)$ 得到通解

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积分因子法求解Bernoulli方程第1次失败尝试
形如
$$
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n
$$
的方程称为 Bernoulli 方程,其中 $n\neq 0,1$.我们已经用变量替换法解决过它.现在我们用积分因子法解决它.我们将 Bernoulli 方程化为
\begin{equation}
  \label{eq:1}
  dy+(p(x)y-q(x)y^n)dx=0.
\end{equation}
将微分方程 \eqref{eq:1} 进行分组,变成
\begin{equation}
  \label{eq:2}
  (dy-q(x)y^{n}dx)+p(x)ydx=0.
\end{equation}
对于微分方程
\begin{equation}
  \label{eq:3}
  dy-q(x)y^{n}dx=0
\end{equation}
来说,当 $y\neq 0$ 时,易得积分因子为 $\frac{1}{y^{n}}$.\eqref{eq:3} 两边同乘以 $\frac{1}{y^{n}}$ 后,得到
\begin{equation}
  \label{eq:4}
  \frac{1}{y^{n}}dy-q(x)dx=0.
\end{equation}
易得通积分为
$$
\frac{1}{1-n}y^{-n+1}-\int q(x)dx+C=0.
$$
易得 $\frac{1}{y^{n}}g(\frac{1}{1-n}y^{-n+1}-\int q(x)dx)$ 也是 \eqref{eq:3} 的积分因子,
其中 $g$ 可微.下面我们来看微分方程
\begin{equation}
  \label{eq:5}
  p(x)ydx=0.
\end{equation}
易得积分因子为 $\frac{1}{y}$,\eqref{eq:5} 两边乘以积分因子后, 得到通积分为
$$
\int p(x)dx+C=0.
$$
易得 $\frac{1}{y}h(\int p(x)dx)$ 也是 \eqref{eq:5} 的一个积分因子, 其中 $h$ 可微.我们希望,
$$
\frac{1}{y^n}g(\frac{1}{1-n}y^{-n+1}-\int q(x)dx)=\frac{1}{y}h(\int p(x)dx).
$$
即
$$
\frac{1}{y^{n-1}}g(\frac{1}{1-n}y^{-n+1}-\int q(x)dx)=h(\int p(x)dx).
$$
然后不知道该怎么做了!