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丁同仁《常微分方程》第二版 §1.2 微分方程及其解的几何解释
假设在平面上安放一个长度的 $2 a$ 的细磁棒, 使它的两个端点分别在点 $(-a, 0)$ 和 $(a, 0)$, 则在平面上就产生一个磁场. 若再撒上一些短小的铁针, 它们将按磁场的方向排列, 出现一个具体的线素场模型—磁场.
现在要推导这磁场所对应的微分方程. 我们把细磁棒简化为放置于点 $(-a, 0)$ 和 $(a, 0)$ 的两个异性的点磁荷. 它们在平面上任意一点 $(x, y)$ 产生的磁场强度分别为 $\boldsymbol{H}_1$ 和 $\boldsymbol{H}_2$ (见图 1-4).
由Coulomb's law
$$
\boldsymbol{H}_i=\frac{m_i}{r_i^3} \boldsymbol{r}_i=\frac{m_i}{r_i^2} \boldsymbol{r}_{i 0}, \quad i=1,2,
$$
这里 $\boldsymbol{r}_1$ 表示从 $(-a, 0)$ 到 $(x, y)$ 的向量, $\boldsymbol{r}_2$ 表示从 $(a, 0)$ 到 $(x, y)$ 的向量, $r_i=\left|\boldsymbol{r}_i\right|$, 而 $\boldsymbol{r}_{i 0}=\boldsymbol{r}_i / r_i$ 为在 $\boldsymbol{r}_i$ 方向的单位向量; $m_i$ 为 磁荷的磁量. 为简单计, 取 $m_1=+1$ 和 $m_2=-1$. 因此, 在 $(x, y)$ 点的磁场强度为 $\boldsymbol{H}=\boldsymbol{H}_1+\boldsymbol{H}_2$.
注意
\begin{array}{ll}
r_1=\sqrt{(x+a)^2+y^2}, & r_2=\sqrt{(x-a)^2+y^2}, \\
\cos \alpha=\frac{x+a}{r_1}, & \cos \beta=\frac{x-a}{r_2}, \\
\sin \alpha=\frac{y}{r_1}, & \sin \beta=\frac{y}{r_2}
\end{array}分别取磁场强度 $\boldsymbol{H}$ 沿 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的分量
$$\left\{\begin{array}{l}U(x, y)=\frac{x+a}{\left[(x+a)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}}-\frac{x-a}{\left[(x-a)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}} \\ V(x, y)=\frac{y}{\left[(x+a)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}}-\frac{y^{2}}{\left[(x-a)^{2}+y^{2}\right]^{3 / 2}}\end{array}\right.$$
则描述磁场强度的微分方程为
$$\tag{1.28}\label{1.28}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{V(x, y)}{U(x, y)},
$$
亦即
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\left(\left[(x-a)^2+y^2\right]^{3 / 2}-\left[(x+a)^2+y^2\right]^{3 / 2}\right) y}{(x+a)\left[(x-a)^2+y^2\right]^{3 / 2}-(x-a)\left[(x+a)^2+y^2\right]^{3 / 2}},
$$
而它的线素场如图 1-5 所示 (本节习题 3). 由此大致可以看出它的积分曲线(亦即磁力线) 的分布状况.
【附注】微分方程 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac xy$ (1.27) 有奇异点为 $O$, 它是积分曲线族 (亦即圆族) 的中心. 另外, 微分方程 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac yx$ (1.26) 也有奇异点为 $O$, 从它发出的射线族是方程的积分曲线族. 而微分方程 \eqref{1.28} 有两个奇异点为 $(-a, 0)$ 和 $(a, 0)$, 它们是磁力线 (即积分曲线) 的汇集点.
从这些例子我们看到, 虽然在奇异点微分方程是不定式, 但是在积分曲线族的分布中奇异点是关键性的点 (参考本书第八章). |
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