“积分符号内取微分”的方法做积分

hbghlyj

integration 2021 sheet3
Q13 By differentiating through the integral sign, evaluate the following integrals:
(i) $\int_0^∞\frac{\mathrm e^{-x} \sin t x}x\rmd x$
$\frac{\rmd}{\rmd t}\int_0^∞\frac{\mathrm e^{-x} \sin t x}x\rmd x=\int_0^∞\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\mathrm e^{-x} \sin t x}x\right)\rmd x=\int_0^∞\mathrm e^{-x} \cos t x\rmd x=ℒ\{\cos tx\}(1)=\frac1{t^2+1}$
对 $t$ 积分: $\int_0^∞\frac{\mathrm e^{-x} \sin t x}x\rmd x=\int_0^t\frac1{τ^2+1}\rmdτ=\arctan t$

(ii) $a , b > 0 .$
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)\rmd x.$$
有2个参数了. 不会做

Czhang271828

先假定 $I(a,b)=\cdots$. 求导, 得
$$
\begin{align*}
I_a&=\int_0^{\pi/2}\dfrac{2a\cos ^2x}{a^2\cos ^2x+b^2\sin ^2x}\mathrm dx,\\
I_b&=\int_0^{\pi/2}\dfrac{2b\sin ^2x}{a^2\cos ^2x+b^2\sin ^2x}\mathrm dx,
\end{align*}
$$
从而 $aI_a+bI_b=\pi$​. 另一方面,
$$
\begin{align*}
\dfrac{I_a}{2a}+\dfrac{I_b}{2b}&=\int_0^{\pi /2}\dfrac{1}{a^2\cos ^2x+b^2\sin^2 x}\mathrm dx\\
&=\int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{a^2+b^2\tan ^2 x}\mathrm d\tan x\\
&=\int_0^\infty\dfrac{1}{a^2+b^2 u^2}\mathrm du\\
&=\dfrac{\pi}{2ab}\\
\end{align*}
$$
因此 $bI_a+aI_b=\pi=aI_a+bI_b$, 即 $I_a=I_b=\dfrac{\pi}{a+b}$. 解得 $I=\pi\log(a+b)+C$. 显然 $I(1,1)=0$, 故
$$
I(a,b)=\pi \log\dfrac{a+b}{2}.
$$

写完才发现 $I(a,b)=I(b,a)$ 是原题干经 $x\mapsto \frac{\pi}{2}-x$ 所得, 从而 $I_a=I_b$ 是显然的. 即, 算到 $aI_a+bI_b=\pi$ 就可以了.

hbghlyj

Also see math.stackexchange.com/questions/715789
math.stackexchange.com/questions/3733804
math.stackexchange.com/questions/1926279
math.stackexchange.com/questions/2300207
artofproblemsolving.com/community/c7h1956217p13516522
math.stackexchange.com/questions/2175287
math.stackexchange.com/questions/2299703
math.stackexchange.com/questions/2817172
math.stackexchange.com/questions/724985

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-2-19 07:22
先假定 $I(a,b)=\cdots$. 求导, 得
$$
\begin{align*}

另外 \begin{align*} 应该不需要放在 $$ 里面?

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-2-19 07:22
写完才发现 $I(a,b)=I(b,a)$ 是原题干经 $x\mapsto \frac{\pi}{2}-x$ 所得, 从而 $I_a=I_b$ 是显然的.

假若 $I(a,b)=ab$, 则也有 $I(a,b)=I(b,a)$, 但 $I_a\ne I_b$.