Projection #formulas
点到1维线性子空间(过原点的直线)的正交投影矩阵(外积)$P_u=uu^T$, $\{u\}$是正交规范基(即$u$为直线的单位方向向量). 当$\{u\}$不必须是正交规范基(即长度不为1时)公式$P_u=u(u^Tu)^{-1}u^T$也适用, 这里$(u^Tu)^{-1}=\|u\|^{-2}$是把$u$规范化为$u\over\|u\|$的因子.
例子点$(3,7,1)^T$ 到 直线$x_1-x_2+3x_3 = 2x_1+ x_2 = 0$ 的正交投影.
方向向量 $(1, -1, 3)^T\times(2, 1, 0)^T=(-3, 6, 3)^T$
单位方向向量 $u=\frac1{\sqrt6}(-1, 2, 1)^T$
$P_u(3,7,1)^T=\frac1{6}(-1, 2, 1)^T(-1, 2, 1)(3,7,1)^T=(-2,4,2)^T$
在任意维线性子空间上的正交投影。设 $\{u_1, …, u_k\}$ 是子空间 $U$ 的一组正交规范基，$A$ 是以这些向量作为列的矩阵，那么投影 $P_{A}=AA^{T}$ 是正交的。
当 $\{u_1, …, u_k\}$ 不必须是正交规范基，公式 $P_{A}=A(A^{T}A)^{-1}A^{T}$ 也适用。这里$(A^{T}A)^{-1}$是规范化因子。
例子点$(3,-1,1,-1)^T$ 到 $V=\left\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{4}: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{1}+2 x_{3}+x_{4}=0\right\}$ 的投影
解线性方程组$\cases{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\x_{1}+2 x_{3}+x_{4}=0}$得 $V$ 的一个基为$\{(-1, 0, 0, 1)^T, (-2, 1, 1, 0)^T\}$
则 $A=\pmatrix{-1&-2\\0&1\\0&1\\1&0}$
则 $P_A=\frac14\left(
\begin{array}{cccc}
3 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & -1 & 3 \\
\end{array}
\right)$
则 $P_A\pmatrix{3\\-1\\1\\-1}=\frac12\left(
\begin{array}{c}
5 \\
-1 \\
-1 \\
-3 \\
\end{array}
\right)$
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