来自人教论坛的三个一次函数$\abs{f(x)}-\abs{g(x)}+h(x)$

kuing

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提问者：wzxsjz  原标题：又一个2013浙江高中竞赛

f(x),g(x),h(x)为一次函数，
当x<-1时,|f(x)|-|g(x)|+h(x)=-1,
当-1<=x<0时,|f(x)|-|g(x)|+h(x)=3x+2
当x>=0时,|f(x)|-|g(x)|+h(x)=-2x+2,
则h(x)的表达式为?

解：首先易知，若 $f(x)=ax+b$ 满足 $f(x_0)=0$ 且 $x_0\leqslant0$，则当 $x<x_0$ 时 $f(x)=-\abs ax-\abs b$，当 $x\geqslant x_0$ 时 $f(x)=\abs ax+\abs b$。

设 $f(x)=ax+b$, $g(x)=mx+n$, $h(x)=px+q$。

由分界点，易知有两种可能：

（1）$f(-1)=g(0)=0$，即 $a=b$, $n=0$。

则当 $x<-1$ 时，$\abs{f(x)}-\abs{g(x)}+h(x)=-\abs ax-\abs b+\abs mx+\abs n+px+q$；

当 $-1\leqslant x<0$ 时，$\abs{f(x)}-\abs{g(x)}+h(x)=\abs ax+\abs b+\abs mx+\abs n+px+q$；

当 $x\geqslant0$ 时，$\abs{f(x)}-\abs{g(x)}+h(x)=\abs ax+\abs b-\abs mx-\abs n+px+q$。

故对比系数得
\begin{align*}
-\abs a+\abs m+p&=0,\\
\abs a+\abs m+p&=3,\\
\abs a-\abs m+p&=-2,\\
-\abs b+\abs n+q&=-1,\\
\abs b+\abs n+q&=2,\\
\abs b-\abs n+q&=2,
\end{align*}
解得 $\abs a = 3/2$, $\abs m = 5/2$, $p = -1$, $\abs b = 3/2$, $\abs n = 0$, $q = 1/2$，故 $h(x)=-x+1/2$；

（2）$g(-1)=f(0)=0$，即 $m=n$, $b=0$。

则当 $x<-1$ 时，$\abs{f(x)}-\abs{g(x)}+h(x)=-\abs ax-\abs b+\abs mx+\abs n+px+q$；

当 $-1\leqslant x<0$ 时，$\abs{f(x)}-\abs{g(x)}+h(x)=-\abs ax-\abs b-\abs mx-\abs n+px+q$；

当 $x\geqslant0$ 时，$\abs{f(x)}-\abs{g(x)}+h(x)=\abs ax+\abs b-\abs mx-\abs n+px+q$。

故对比系数得
\begin{align*}
-\abs a+\abs m+p&=0,\\
-\abs a-\abs m+p&=3,\\
\abs a-\abs m+p&=-2,\\
-\abs b+\abs n+q&=-1,\\
-\abs b-\abs n+q&=2,\\
\abs b-\abs n+q&=2,
\end{align*}
显然无解。

综上，$h(x)=-x+1/2$。

kuing

感觉上面可能做麻烦了……你们有没有快点的目测办法……

零定义

回复 2# kuing
杀鸡岂需用牛刀？睡神也来玩玩…
由临界点可知，|f(x)|-|g(x)|+h(x)=-1,x<-1中的|f(x)|、|g(x)|去掉绝对值符号后和|f(x)|-|g(x)|+h(x)=-2x+2,x>=0中的|f(x)|、|g(x)|去掉绝对值符号后异号，所以两式相加得：2h(x)=-1+(-2x+2)=-2x+1，所以…
俺不会表达…看木懂的话，原谅俺吧…

kuing

回复 3# 零定义

有道理耶
果然我是兜了大弯，真的能目测哈……
这次糗大了……

hongxian

回复 3# 零定义


    好方法!

老布什

回复 3# 零定义
真是妙，说明一下：

   不舫 设f(x)=mx+b    m>0
           g(x)=px+q     p>o
           
  当x趋于-无穷时lf(x)l 和 lg(x)l去绝对值符号后一定变号
当x趋于+无穷时lf(x)l 和 lg(x)l去绝对值符号后一定不变号
于是-mx-b+px+q+h(x)=-1
     mx+b-px-q+h(x)=-2x+2
相加得h(x)=-x+0.5