几乎处处相等 复合

hbghlyj

$ℝ$上的可测函数空间上的等价关系 $∼$ 定义为 $f∼g⟺f与g$ 几乎处处相等.
1) 如果$f∼g$，则$h∘f∼h∘g$.
2) 找一个 $h$ 是单射的例子，$f∼g$，但是 $f∘h\nsim g∘h$.

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1)证明: $\{x:h∘f(x)\ne h∘g(x)\}\subset\{x:f(x)\ne g(x)\}$.

2)

Czhang271828

$f\circ h\neq g\circ h$ 中 $\neq $ 需要明确一下, $h$ 的定义域以及可测与否也应说明一下; 但也无大碍, 反例均可构造.

如果是 $\neq$, 则取 $h=\mathrm{id}$ 以及 $f\neq g$ 即可.

如果是 $\not\sim$, 并且没强调 $h$ 的定义域, 则考虑 $h$ 的定义域与值域均为一个点.

如果是 $\not\sim$, 并且 $h$ 是定义在 $\mathbb R$ 的单射, 则可选取基数等于 $|\mathbb R|$ 零测集 $S$, 构造单射 $h:\mathbb R\to S$, 并令示性函数 $f=\chi_S$ 与 $g=-\chi_S$. 显然 $f\sim 0\sim g$, 同时 $f\circ h:\mathbb R\to \{1\}$, $g\circ h:\mathbb R\to \{-1\}$.

关于可测单射 $h$ 的构造: 取 $S$ 为 Cantor 集, 我们知道 $S$ 中元素对应 $[0,1]$ 中所有"形式三进制小数"(形式三进制小数商去关系 $0.2\dot 2\approx 1$ 后得到通常意义的三进制小数). 去除 $S$ 中有限小数(可数集)得集合 $\tilde S$, 显然有单调递增的双射 $(0,1)\overset {1:1}\longleftrightarrow \tilde S$. 从而有单调递增的双射 $h:\mathbb R\to \tilde S$, 从而 $h$ 可测.