射影变换将正方形映射到凹四边形

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作业10 补充题五（选做）：
6) 若一个射影变换把一个正方形的四顶点映为一个凹四边形的四顶点，那么它把正方形的内部区域映到了哪里？试作图说明。

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顶

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Planar Homography
射影变换$\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\\hline
-1 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right)$
将正方形的顶点$(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1)$映射为$(1,1),(-1,1),(-1,-1),\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$
将正方形内部$\{(x,y):\abs x\le1\wedge\abs y\le1\}$映射为$\left| \frac{x}{x-y+1}\right| \leq 1\land \left| \frac{y}{x-y+1}\right| \leq 1$

RegionPlot[Abs[x/(1+x-y)]<=1&&Abs[y/(1+x-y)]<=1,{x,-5,5},{y,-5,5}] Copy the Code

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Czhang271828 发表于 2023-3-26 11:23
内部映到内部, 因为连续映射保持单连通性. (cut-the-knot.org/m/Geometry/QuadrilateralIntoParallelogram.shtml) 中的动画模拟已经很形象了

三楼的区域在$\mathbb RP^2$是连通的

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是否存在 射影变换将正方形内部映射到凹四边形内部
size(8cm);filldraw(box((-.8,-1),(1.2,1)),blue+opacity(.2),blue+linewidth(2));
filldraw((4.5,1)--(5.5,-1)--(4.5,-0.3)--(3.5,-1)--cycle,blue+opacity(.2),blue+linewidth(2));
draw((2,0)--(3,0),blue,Arrow);

GraphicsMill说不可能：

If a transformation matrix represents a non-convex quadrangle (such matrices are called singular), then the transformation cannot be performed through matrix multiplication.

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给定四条直线$l_1,l_2,l_3,l_4$，能否找到一个射影变换，固定$l_1,l_2$，且交换$l_3,l_4$？

（这样就能交换一对邻边而保持另一对邻边不变，将凸四边形映射到凹四边形）

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hbghlyj 发表于 2024-3-27 10:47
给定四条直线$l_1,l_2,l_3,l_4$，能否找到一个射影变换，固定$l_1,l_2$，且交换$l_3,l_4$

用这帖找到直线AB上固定O且交换C、D的一维射影变换$T_1$，
同理找到直线CD上固定O且交换C、D的一维射影变换$T_2$，
它们就能确定唯一的二维射影变换$T$，使得$T$在直线AB上与$T_1$相同，在直线CD上与$T_2$相同。具体步骤为：

设四条直线为AB、CD、AC、BD 设AB交CD于O 设AP交CD于F 设CP交AB于E $T_1(E)=E'$ $T_2(F)=F'$ 设BF'、DE'交于Q P到Q的变换$T$符合要求。

$T(A)=B,T(B)=A,T(C)=D,T(D)=C$
$T$保持直线AB和CD，交换直线AC和BD
保持直线AB和CD，交换直线AC和BD.ggb (34.04 KB, Downloads: 1)

2024-3-27 19:56 Upload

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hbghlyj 发表于 2023-3-26 00:28
作业10 补充题五（选做）：
6) 若一个射影变换把一个正方形的四顶点映为一个凹四边形的四顶点，那么它把正方形的内部区域映到了哪里？试作图说明。

上面构造的$T$将凸四边形OAGD的顶点映射到了凹四边形OBGC的顶点，但将凸四边形OAGD的内部映射到了两个绿色区域

一个射影变换把一个正方形的四顶点映为一个凹四边形的四顶点.ggb (28.52 KB, Downloads: 0)

2024-3-27 19:50 Upload

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Czhang271828 发表于 2023-3-26 11:23
内部映到内部, 因为连续映射保持单连通性. (cut-the-knot.org/m/Geometry/QuadrilateralIntoParallelogram.shtml) 中的动画模拟已经很形象了

不可能将內部映射到内部吧。

两个绿色区域在$\Bbb RP^2$上也是连通的（Q可以从直线AB的一头出去又从另一头回来），但绿色区域不是凹四边形的內部。

但应该如何证明不存在射影变换将正方形内部映射到凹四边形内部？

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hbghlyj 发表于 2024-3-27 11:53
但应该如何证明不存在射影变换将正方形内部映射到凹四边形内部？

Does projective transformation preserve convexity?说，

If $C\subset\Bbb R^d$ is convex, then consider the cone $\mathrm{cone}(C\times \{1\})\subset\Bbb R^{d+1}$. The projective transformations of $C$ are the intersections of hyperplanes $\pi\subset\Bbb R^{d+1}$ with this cone.

If this is what you mean, then these transformations are apparently convex, because the cone is convex, so is $\pi$, and so must be their intersection.

正方形决定一个“正方形锥”，射影变换就是“正方形锥”的一个截面，所以保持凸性。
若截面很斜（把一条穿过正方形的直线映射到无穷远线），就像上面那样出现两个区域（类似于圆锥面的椭圆截面变到双曲线截面）。
所以不存在射影变换将正方形内部映射到凹四边形内部。

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-3-26 11:23
内部映到内部, 因为连续映射保持单连通性. (cut-the-knot.org/m/Geometry/QuadrilateralIntoParallelogram.shtml) 中的动画模拟已经很形象了

链接中把UV映射到无穷远线，UV与正方形不相交，故正方形映为凸四边形，内部映为内部。