$ℝ^2$有理点构成的稠密集,任意两点的距离为无理数.

hbghlyj

MSE类似题
周民强 - 实变函数论（第二版）的62页 连续函数的延拓定理后面的注2
$ℝ^2$中存在由某些有理点构成的稠密集,其中任意两点的距离为无理数.

Czhang271828

命题 $\mathbb R^2$ 中存在某些有理点构成的稠密集, 其中任意两点的距离为无理数.

引理 对任意有限有理点集 $S$ 与开集 $U\subseteq \mathbb Q^2$, 总存在 $U$ 中点 $x$ 使得 $x$ 与 $S$ 中点的距离均为无理数. 该引理思路简单但码字麻烦, 故拷贝现成答案.

回到原命题. 对 $N=1,2,\ldots,$ 依次在 $[-N,N]\times [-N,N]$ 中形如 $\left[\dfrac{m}{N},\dfrac{m+1}{N}\right]\times \left[\dfrac{n}{N},\dfrac{n+1}{N}\right]$ 的块中取出一点, 使得其与所有已取得的点之距离为无理数. 这是引理的直接推论.

由于无穷并是良定义的, 这样一个归纳极限 $S$ 在 $\mathbb Q^2$ 中存在. $S$ 中的任意两点一定会在有限次归纳后出现, 从而其距离为无理数. 加之 $S$ 在 $\mathbb R^2$ 中稠密, 从而命题成立.

hbghlyj

不懂 最后一句$S$ 在 $\mathbb R^2$ 中稠密是如何得出的? 只知 $S$ 在 $\mathbb Q^2$ 中.