平面的稠密子集 平行于x,y轴的直线上至多一点

hbghlyj

证明存在 ${\mathbb R}^2$ 的稠密子集，在每条垂直线上最多包含一个点，在每条水平线上最多包含一个点。
MSE
${\mathbb Q} \times {\mathbb Q}$ 中任意两点的连线不平行于 $(1,\sqrt{2})$ 与 $(\sqrt{2},-1)$.
设 $f$ 是 $(1,\sqrt{2})$ 到 $(0,1 )$, $(\sqrt{2},-1)$ 到 $(1,0)$ 的正交变换，则稠密集 $f({\mathbb Q} \times {\mathbb Q})$ 中任意两点的连线不平行于x,y轴。

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是否存在 ${\mathbb R}^2$ 的稠密子集，在每条垂直线上恰好包含一个点

Czhang271828

记 $[k]=\mathbb Q\cdot \sqrt{p_k}\setminus \{0\}$, 其中 $p_k$ 是第 $k$ 个质数. 记 $\varphi:\mathbb N\to \mathbb Q$ 为双射.

考虑将 $x$ 轴上的 $[k]$ 中的点向上平移 $\varphi (k)$ 个单位, 其余点不动即可.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-5-30 09:56
记 $[k]=\mathbb Q\cdot \sqrt{p_k}\setminus \{0\}$, 其中 $p_k$ 是第 $k$ 个质数. 记 $\varphi:\mathbb N\to \mathbb Q$ 为双射.

考虑将 $x$ 轴上的 $[k]$ 中的点向上平移 $\varphi (k)$ 个单位, 其余点不动即可.

为什么这个集合在 $\mathbb R^2$ 中稠密

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-5-30 17:55
为什么这个集合在 $\mathbb R^2$ 中稠密

任意给定 $(x,y)\in \mathbb R^2$, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $r\in \mathbb Q$ 使得 $|r-y|<\varepsilon/2$.

此时 $\mathbb R$ 的子集 $[\varphi^{-1}(r)]=\mathbb Z\cdot \sqrt{p_{\varphi^{-1}(r)}}$ 被移到直线 $y=r$ 内.

由于 $[\varphi^{-1}(r)]$ 在 $\mathbb R$ 中稠密, 故存在 $s\in \mathbb Q$ 使得 $|x-s\cdot \sqrt{p_{\varphi^{-1}(r)}}|<\varepsilon/2$.

综上, $\|(x,y)-(s\cdot \sqrt{p_{\varphi^{-1}(r)}},r)\|_2\leq \varepsilon /\sqrt 2 <\varepsilon$.