概率论的题目

hbghlyj

来自WolframChina
设随机向量的联合概率密度函数为$f(x,y)=k(6-x-y)$，其中 $0<x<2, 2<y<4$，求：
1. $k$ 的值；
2. $\Pr(X<1, Y<3)$
3. $x$ 与 $y$ 各自的边缘概率密度？
4. $x$ 与 $y$ 是否互相独立？

1. Integrate[k (6-x-y), {x,0,2}, {y,2，4}]==1 // Solve[#, k] &
2. k = k /. %
3. dist = ProbabilityDistribution[1/k (6 - x - y), {x, 0, 2}, {y, 2, 4}]
4. CDF[dist, {x, y}] /. {x -> 1, y -> 3}
5. {X, Y}=MarginalDistribution[dist,#1]~PDF~#2&
6. @@@ {{1, x}, {2, y}}
7. X Y= Piecewise[{{1/k (6-x-y)，0<x<2&&2<y<4}}]

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对于上面的代码，解释如下：

首先，对 f 积分，得到一个有关 k 的表达式；
由概率密度函数的特性，这个表达式应为1；
求解“表达式==1”，带入，这就是第一题的答案。

dist 是概率密度函数f所构建的概率分布；
计算其累积分布，然后带入 x=1,y=3。
这就是第二题的答案。

X，Y 分别是 dist 某个边缘分布的概率密度函数，
分别对应于第1个参数是x，第2个是y。
得到的就是 X,Y 各自的边缘概率密度函数，
此即第三题答案。

X Y 独立，即边缘密度之积等于全局。
判断结果即第四题答案。

hbghlyj

两个指数分布的最小值呈指数分布：

1. TransformedDistribution[Min[u,v],{u\[Distributed]ExponentialDistribution[Subscript[\[Lambda], 1]],v\[Distributed]ExponentialDistribution[Subscript[\[Lambda], 2]]}]

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输出ExponentialDistribution[Subscript[\[Lambda], 1] + Subscript[\[Lambda], 2]]

两个指数分布的最大值的CDF：

1. Probability[Max[x,y]<z,{x\[Distributed]ExponentialDistribution[Subscript[\[Lambda], 1]],y\[Distributed]ExponentialDistribution[Subscript[\[Lambda], 2]]}]//FullSimplify

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输出$\left\{
\begin{aligned}
&e^{\left(\lambda _1+\lambda _2\right) (-z)} \left(e^{\lambda _1 z}-1\right) \left(e^{\lambda _2 z}-1\right) & z\geq 0 \\
&0 & \text{True} \\
\end{aligned}\right.$