求助推荐一本线性代数的书

abababa

想好好学一下线性代数方面的知识，求助推荐一本书。要求：
1.要包含约当标准型的内容，并且要详细一些，不能只讲怎么计算，还要有详细的证明过程。
2.不需要包含过多的抽象代数的内容，可以稍有些涉及，但只要在线性代数中够用就可以。
3.要有一些具体的应用专题。虽然线性代数在很多物理、工程方面都有应用，但我想要的，主要是它在数学方面的应用，例如二次型和圆锥曲线、射影几何就有很密切的关联，所以书中的应用最好涉及到这些方面，不能只是几个例题的形式，而是要像专题一样，用线性代数的知识推导出具体应用中某个比较重要的定理，不需要全面，但要有些深度。最好是几何、组合方面的应用。
4.书里应该主要以证明为主，计算我觉得对我来说不太重要，有软件算就行了，也没多大规模。
5.最好是中文版，我英语不行。如果一定是英文书，书里的文字最好没那么晦涩，比如Haim.Brezis的那本《泛函分析、索伯列夫空间与偏微分方程》，这本书的文字难度我还可以接受。

1和3对我来说很重要。

isee

线性代数也快忘光了，你翻下《高等代数》，北大数学系的——（很早的本科教材了，简洁，批评的声音也多，不过，建议先翻下）——能不能满足要求.

abababa

几位互动多一点的网友推荐的都是他们自己用的教材，比如厦门大学和吉林大学的《高等代数》。我觉得这两本在我说的应用方面不够丰富。

abababa

isee 发表于 2023-4-22 23:59
线性代数也快忘光了，你翻下《高等代数》，北大数学系的——（很早的本科教材了，简洁，批评的声音也多，不 ...

是王萼芳那本吗？我觉得那本书的目标是考试方面的，也是有和3楼同样的问题，并且因为针对的是考试，可能更注重一些技巧，反而对这些概念的引出和串联讲得不够细。

Czhang271828

你会上谷歌以及使用 z-lib 吗? 如果会, 我可以回答地轻松些.

abababa

Czhang271828 发表于 2023-4-23 14:04
你会上谷歌以及使用 z-lib 吗? 如果会, 我可以回答地轻松些.

谷歌有时候能上有时候不能上，z-lib没用过。可以提供书名，要是适合我的话，我可以买一本纸版的。

Czhang271828

abababa 发表于 2023-4-23 15:00
谷歌有时候能上有时候不能上，z-lib没用过。可以提供书名，要是适合我的话，我可以买一本纸版的。 ...

上网问题可以私下问问 kuing 或者 mavel. 我觉得基础数学爱好者应该自觉地摒弃百度以及知网等.

关于搜索引擎, 我个人的建议是 Google > Bing. 如果你想知道 Jordan normal form 相关东西, 可以搜索关键词+PDF, 然后会跳出很多 notes. 挑选一些喜欢的学习即可. z-lib 是个电子书库, 要连接国际互联网才能使用, 我觉得 mavel 也会用. 买书不大现实, 动不动几百美元的极不划算.

下面回答原来的问题.

(1) Jordan normal form 的证明基本分为两类, 一类是直截了当地用根子空间以及广义特征向量一套, 另一类是从上三角化出发归纳地证明. 第一类常见一点, Google 上的 notes 大同小异, 都可以看看. 丘维声的书写的也比较全面. 第二类可以看科大王新茂写的讲义, 或者 Google 上找找其他 notes.

(2) 一般来讲, 每个人对线性代数的定义和需求都不一样, 主要看你偏好哪一块东西. 按大方向看, 矩阵论与线性空间各有不同的分支, 研究方式也不尽相同.

(3) 个人的建议有多少需求就学多少, 不然学了很多例子也会忘记. 想要什么东西就 Google 关键词, 例如搜索 "projective geometry, linear algebra, PDF", 就会出现你要的射影几何与线性代数相关文章或书籍. 看到要付费的图书就转到 z-lib 下. 个人不推荐在线性代数书上学习几何或者组合, 一般的组合以及几何教材都会自然地用到线性代数. 顺便一提, 组合与几何类的东西和抽象代数关联更大.

以下推荐一些实用的专题, 可以找 notes 学习.

(a) 矩阵张量积. 可以较方便地解决图论问题, $AX-XB=C$ 的矩阵方程问题.

(b) 矩阵的 Jordan 标准型(分解), 循环空间分解, Shur 三角化, 奇异值分解, XA=LU 分解, QR 分解等常用技巧.

(c) Shur 打洞, Woodbury matrix identity 等常用矩阵论技巧.

(d) 矩阵在图论上的应用(自行找 notes, 推荐 douglas 的图论导引), Brouwer 的代数图论也可以.

(e) 编码理论相关, 自行找丘维声的书, 里面的也有很多矩阵技巧, 涉及抽象代数的只有二元域 $\mathbb Z/2\mathbb Z$. 有时 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 上的矩阵可以让一些矩阵定理很直观.

(f) 随机过程里也需要大量的矩阵及其特征值理论, Google 上 notes 一大把.

(4) 看证明没啥意思, 你需要了解的是为什么提出这个定理, 以及背后的原理. 举个学 Gauss 消元时常用的例子, 可以想想为什么提出 Reduced row echelon form 是自然的, 以及如何无字证明之.

(5) 我觉得英语必须得熟练, 事实告诉我们数学唯一的学术语言(自然语言)就是英语. 如果要考古一些文献, 学代数最好要会一点法语(类似英语方言), 学动力系统类的最好要会一点俄语(感谢彼得一世, 俄语和英语的学术词汇挺统一的).

除了上面的书, 还推荐一个笔记网站. 这里面涵盖了几乎所有本科数学课程的最简单版本, 笔记做得也不错.

abababa

Czhang271828 发表于 2023-4-23 16:02
上网问题可以私下问问 kuing 或者 mavel. 我觉得基础数学爱好者应该自觉地摒弃百度以及知网等.

关于搜 ...

谷歌就是那个vpn的节点有时失效了，要等几天才有更新。我一般是用微软的那个bing搜索。

丘维声的那套《高等代数》有好几个版本，一个是第二版白色封面的那个，配了一套学习指导书，还有一个是第三版，觉得这两个应该是主流的吧，另外还有一些其它版本。不太清楚要怎么选，都没看过。我目前只看过居余马的那本《线性代数》和叶家琛的那本《线性代数》，都是对约当标准型没有更详细的讲，而且也是以矩阵为工具的，没有讲太多关于线性空间、线性变换方面的，但我又觉得应该差不多，矩阵和线性变换应该是同一种东西。

张量积方面其实maven网友给我讲过，就是那个求最小多项式的题，后面还讲了利雅普诺夫方程，可能就是这里的$AX-XB=C$吧？但我当时对线性代数懂得少，后来就没再看。现在他原来的证明我也找不到了，只能先放着。奇异值分解maven也给我讲过，不过他是用在编程方面的，什么图像压缩、主成分分析之类的，我也是不懂，只知道有这个应用，但我知道在数学上要怎么分解。舒尔型是能推导出奇异值分解吧。编码理论知道一点点，最先知道这个是在一个天平、砝码游戏里，用编码理论解出来的，但具体的编码理论可能涉及很多方面，可能有好多我都没什么兴趣，只关心这种具体的我觉得有趣的题目所用到的那一点。随机过程我也没兴趣。

图论的某些方面我有点兴趣，感觉这个和组合题联系多一点，先试试选这个方面的看一看。

我只是爱好者，用业余时间学一下数学，需求其实就是我目前对这方面有没有兴趣，有兴趣我就想着要学一学。我觉得适合我的就是我花点精力，动点脑子，然后就能看得懂的，有的东西对我来说太难了，脑子转不过来，只能找目前适合我的来看。

hbghlyj

abababa 发表于 2023-4-23 09:50
谷歌就是那个vpn的节点有时失效了，要等几天才有更新。

vpncn.github.io/

我是自建节点的

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-4-23 09:02
除了上面的书, 还推荐一个笔记网站.
dec41.user.srcf.net/notes/

类似网站

12000.org/index.htm

Advanced Linear Algebra: Foundations to Frontiers
cs.utexas.edu/users/flame/laff/alaff-beta/

abababa

Czhang271828 发表于 2023-4-23 16:02
上网问题可以私下问问 kuing 或者 mavel. 我觉得基础数学爱好者应该自觉地摒弃百度以及知网等.

关于搜 ...

看了丘维声的《高等代数下册》2010版，就是白色封面的那本，果然好书！解决了我的很多问题。