$ℝ$上严格单调的有界可微函数$f$, $\lim_{x→±∞}f'(x)≠0$

hbghlyj

如果 $f$ 是$ℝ$上的一个单调有界可微函数, 那么, 从 $f$ 的图象上看似乎应该有$$\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f^{\prime}(x)=0 .$$
汪林《实分析中的反例》高等教育出版社 (2014) Page 61
20. $ℝ$上的一个严格单调的有界可微函数 $f$, 使 $\lim_{x→±∞}f'(x)≠0$.
对非负整数 $n$, 令
$$
f(n)=1-2^{-n}
$$
然后把 $f$ 的定义域扩张到全体非负实数上: 对每一非负整数 $n$, 在区间 $[n, n+1]$ 上 $f=f_n$. 这里, $f_n$ 是 $[n, n+1]$ 上的任一单调可微函数, 适合
\begin{array}l
&f_n(n)=f(n),f_n(n+1)=f(n+1),& f_n\left(n+\frac{1}{2}\right)=\{f(n)+f(n+1)\} / 2, \\
&f_n^{\prime}(n)=f_n^{\prime}(n+1)=0,& f_n^{\prime}\left(n+\frac{1}{2}\right)=1 .
\end{array}例如, 在每个区间 $[n, n+1]$ 上可以适当选择两个正弦波段作为函数 $f_n$ 的图像 (参看图 1), 可使 $f_n$ 满足适才提到的全部条件.

图 1

其次, 令 $f(-x)=-f(x)$, 则 $f$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的有界可微函数. 显然, 它在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调, 且 $\lim _{x \rightarrow \pm \infty} f^{\prime}(x) \neq 0$. 其实, 这个极限根本不存在, 因为 $f^{\prime}$ 在每个闭单位区间上, 恒能达到 0 和 1 .
上面的构造法属于 Moran ^[117].

如果把问题的条件改为“严格递增”呢？对于严格递增的有界函数，无穷远处的导数也不见得为0，构造一个反例很简单，只需要在刚才那个函数上面加上一个严格单增的有界函数即可，如令$g(x)=f(x)+1-1/2^n$。显然，$g(x)$仍然单调有界，且$g'(x)=f'(x) + \ln(2)/2^n$，其极限仍然不为0。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-4-29 21:56
例如, 在每个区间 $[n, n+1]$ 上可以适当选择两个椭圆的弧段作为函数 $f_n$ 的图像

两个椭圆的弧段的连接处不可导吧
已改为正弦波段

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-4-29 21:56
其实, 这个极限根本不存在, 因为 $f^{\prime}$ 在每个闭单位区间上, 恒能达到 0 和 1 .

若这个极限存在, 则一定为0吗

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-4-30 05:27
若这个极限存在, 则一定为0吗

可以以下面这三步骤简单地构造 $\mathbb R$ 上光滑, 严格递增, 对任意 $m\in \mathbb N_+$ 都有 $\lim_{n\to \pm \infty}g^{(m)}(x)\neq 0$ 的函数 $g$.

以下记 $\varphi(x)$ 为紧支撑为 $[-1,1]$ 且 $\int_{\mathbb R}\varphi \mathrm dx=1$ 的磨光函数, 考虑紧支撑为 $[-\epsilon ,\epsilon ]$ 且 $\int_{\mathbb R}\varphi_\epsilon \mathrm dx=1$ 的磨光函数 $\varphi _\epsilon :=\epsilon^{-1} \varphi(x/\epsilon)$.

Step I 构造奇函数 $f(x)=1-\dfrac{1}{2+\lfloor x\rfloor} \quad (x>0)$.  
Step II 对 $n\neq 0$, 用 $\varphi_{n^{-n}}(x)$ 磨光 $f$ 在 $\pm n$ 处的间断点即可.

Step III $g(x)=f(x)+\arctan (x)$ 即为所得.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-4-30 06:37
Step II 对 $n\neq 0$, 用 $\varphi_{n^{-n}}(x)$ 磨光 $f$ 在 $\pm n$ 处的间断点即可.

为什么是$n^{-n}$呢