约当标准型$J$中，特征值$a_j$的几何重数为$r_j$

abababa

设$J$是一个约当标准型，$J=\text{diag}(J(a_1,k_{11}),\cdots,J(a_1,k_{1r_1}),\cdots,J(a_s,k_{s1}),\cdots,J(a_s,k_{sr_s}))$，其中每个$J(a_j,k_{jr_j})$都是一个以$a_j$为主对角元的$k_{jr_j}$阶约当块。则特征值$a_j$的代数重数为$k_{j1}+\cdots+k_{jr_j}$，几何重数为$r_j$。

代数重数很好证明，写出特征多项式，一算$(x-a_j)$的次数就出来了。

几何重数我目前证明了：对每个$J(a_j,k_{jq})$，特征值$a_j$只有一个线性无关的特征向量，其中$q$是给定的$1$到$r_j$之间的整数，所以这个约当块的几何重数就是$1$。

下面要怎么证明，由$J(a_j,k_{jq_1})$和$J(a_j,k_{jq_2})$构成的约当型矩阵中，$a_j$的几何重数是$2$呢？也就是相同的特征值在不同的约当块中，怎么证明从这些约当块里分别选出的特征向量线性无关。

我是这么想的，因为约当标准型$J$是分块对角矩阵，所以每个约当块$J(a_j,k_{jq})$都对应了一个$J$的非平凡不变子空间$W_{jq}$，线性空间$V$就能写成$W_{11},\cdots,W_{1r_1},\cdots,W_{s1},\cdots,W_{sr_s}$的直和，每个$W_{jq}$都是一维的。如果$a_j$在不同的$W_{jq_1},W_{jq_2}$里对应的特征向量线性相关，则所有$W_{jq}$的基底合并起来不能构成$V$的一个基底，就矛盾了。但我觉得这么证明不太直观，能不能更直接地证明出$a_j$的几何重数就是$r_j$，也就是等于对角元是$a_j$的约当块的个数。

hbghlyj

$T-\lambda_i$的矩阵是上三角形,则$\dim\ker(T-\lambda_i)$等于零行的个数

我上面说错了
上三角形$\pmatrix{0&1&1\\0&1&1\\0&0&0}$有2个非零行,但秩是1

hbghlyj

abababa 发表于 2023-5-25 09:16
也就是相同的特征值在不同的约当块中，怎么证明从这些约当块里分别选出的特征向量线性无关。

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Czhang271828

这很直接啊, 考虑矩阵
\[
\begin{pmatrix}
\color{red}\lambda&\color{red}1\\
&\color{red}\lambda&\color{red}1\\
&&\color{red}\ddots&\color{red}\ddots\\
&&&\color{red}\lambda&\color{red}1\\
&&&&\color{red}\lambda\\
&&&&&\color{blue}\lambda&\color{blue}1\\
&&&&&&\color{blue}\lambda&\color{blue}1\\
&&&&&&&\color{blue}\ddots&\color{blue}\ddots\\
&&&&&&&&\color{blue}\lambda&\color{blue}1\\
&&&&&&&&&\color{blue}\lambda\\
\end{pmatrix},
\]
以及特征向量
\[
\begin{pmatrix}
\color{red}1\\
\color{red}0\\
\color{red}\vdots\\
\color{red}0\\
\color{red}0\\
\color{blue}0\\
\color{blue}0\\
\color{blue}\vdots\\
\color{blue}0\\
\color{blue}0\\
\end{pmatrix},
\qquad \qquad \qquad
\begin{pmatrix}
\color{red}0\\
\color{red}0\\
\color{red}\vdots\\
\color{red}0\\
\color{red}0\\
\color{blue}1\\
\color{blue}0\\
\color{blue}\vdots\\
\color{blue}0\\
\color{blue}0\\
\end{pmatrix}.
\]
这样的例子应该足够清晰了吧.

abababa

通过主楼里hbghlyj点评的提示，已经明白了。

4楼的例子就是我最开始证明时想的那个，只是当时没想到这个向量要被扩充到整个空间才行，只限定到了子空间上，结果就区分不出两个向量了，而扩充到整个空间后就看出不一样了。