友矩阵的特征多项式等于最小多项式。

abababa

如题，设首一多项式$f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，则$f(x)$的友矩阵定义为
\[
A=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\
1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1\\
0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2\\
\vdots & \vdots & ~ & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-2}\\
0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1}
\end{bmatrix}
\]

根据数学归纳法可以证明$A$的特征多项式就是$f(x)$。再根据哈密顿-凯莱定理可知$f(A)=0$，然后设$A$的最小多项式为$g(x)=x^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0$，由于最小多项式能整除特征多项式，所以只要证明$m=n$，假设$m<n$，则因为最小多项式也能被$A$零化，所以存在$v\neq0$使得
\[0=g(A)v=A^mv+b_{m-1}A^{m-1}v+\cdots+b_1Av+b_0v\]

所以存在不全为零（A^mv的系数是1）的系数使得和为零，所以$A^mv,A^{m-1}v,\cdots,Av,Ev$线性相关，那么只要证明它们线性无关，就得出矛盾了。

怎么证明$A^nv,A^{n-1}v,\cdots,Av,Ev$线性无关呢？这里的友矩阵是通过首一多项式定义的，而不是用循环空间定义的。

Czhang271828

$v$ 取 $(1,0,0,\ldots,0)$ 即可. 这样 $Av=(0,1,0,0,\ldots ,0)$, 以此类推.

abababa

Czhang271828 发表于 2023-6-3 22:17
$v$ 取 $(1,0,0,\ldots,0)$ 即可. 这样 $Av=(0,1,0,0,\ldots ,0)$, 以此类推.

原来如此，只要找到一个这样的向量v就行了，不必根据一般的$v\neq0$来构造。