不 KC 的 T1 空间

hbghlyj

如果拓扑空间的每个紧子集都是闭的，则该拓扑空间称为 KC 空间。
topospaces写道：“Hausdorff implies KC. T1 not implies KC ”
但是能举一个不 KC 的 T1 空间的例子吗？

Czhang271828

$T_1$ 的等价定义是, 所有有限集都是闭的. 故 $\mathrm{KC}\implies T_1$.

$T_1\,\,\,\,\not\!\!\!\!\implies \mathrm{KC}$ 应从'无限紧集'入手. 很自然的例子是无限集的余有限拓扑, 如 $(X,\tau)$.

• 该空间显然 $T_1$. 对任意相异的 $x,y\in X$, $(X\setminus \{x\})$ 本身就是包含 $y$ 的开集.
• 任意 $S\subseteq X$ 均为紧集. 事实上, 对任意 $S$ 的开覆盖 $\mathscr F:=\{U_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$, 每一 $U_\lambda\in \mathscr F$ 至多无法覆盖 $S$ 中至多有限个点; 同时剩下的有限个点一定被有限个 $U_\mu\in \mathscr F$ 覆盖. 综上, $S$ 是紧集.
• 因此 $(X,\tau)$ 不是 $\mathrm{KC}$ 的. 若不然, 则 $X$ 的一切子集是闭集, 从而 $\tau=2^X$ 给出离散拓扑, 矛盾.