高代部分的第三题好像是道错题.
原题 对 $n$ 阶正定矩阵 $A$ 以及列数为 $n$ 的矩阵 $H$, $A-H^TH$ 正定等价于 $I-HA^{-1}H^T$ 正定.
若不要求 $A$ 是对称的, 则有如下反例\begin{align*}
A-H^TH&=
\begin{pmatrix}
1&0\\1&1
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\sqrt{7/8}\\\sqrt{7/8}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\sqrt{7/8}\\\sqrt{7/8}
\end{pmatrix}^T
=
\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}
1&-7\\1&1
\end{pmatrix},\\[10pt]
I-HA^{-1}H^T&=1-\begin{pmatrix}
\sqrt{7/8}\\\sqrt{7/8}
\end{pmatrix}^T
\cdot
\begin{pmatrix}
1&0\\-1&1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\sqrt{7/8}\\\sqrt{7/8}
\end{pmatrix}
=\dfrac 18.
\end{align*}
若 $A$ 对称, 则有如下简单的证明.若 $A$ 对称, 遂有分解 $A=R^TR$. 再注意到 $I-(HR^{-1})^T(HR^{-1})$ 与 $I-(HR^{-1})(HR^{-1})^T$ 是特征值相差若干个 $1$ 的实对称矩阵即可.
一般地, (半)正定的定义是二次型 $> 0$ ($\geq 0$). 不知何时, 出现了一条不成文的规矩: (半)正定矩阵是对称的. | 
