线性变换 “矩阵左乘A” 是否与A有相同的特征值

hbghlyj

Hoffman & Kuntze, Linear Algebra, page 190

根据题设 $T(X) = AX$，$X\in V$。
$\alpha\in F$ 是$T$ 的特征值则存在 $X\neq 0$ 满足 $T(X) = \alpha X$，即 $AX = \alpha X = \alpha IX$
只要$X$不为$0$矩阵，就有非零列向量，$\lambda I-A$就有非零的零空间，就奇异，于是$\lambda$是$A$的特征值。但若$X$不可逆怎么推呢

hbghlyj

page 206有一道相关题:

Czhang271828

若 $T$ 有特征向量 $X$, 则 $X$ 作为矩阵, 其每一列均为 $A$ 的特征向量的数乘(包括 $0$ 向量); 反之可以从 $A$ 的特征向量构造 $T$ 的特征向量(例如复写 $n$ 次). 从而 $T$ 与 $A$ 具有相同的特征值(不记重数).

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-6-20 09:14
从而 $T$ 与 $A$ 具有相同的特征值(不记重数).

补充:
$\dim A=n^2,\dim T=n^4$, 推出它们有的特征值重数不同🤔

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-6-20 09:14
从而 $T$ 与 $A$ 具有相同的特征值(不记重数).

那么13(a)对吗🤔若$A$可对角化,则$T$只有$n^2$个特征值,$T$不一定可对角化?

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-6-20 16:19
那么13(a)对吗🤔若$A$可对角化,则$T$只有$n^2$个特征值,$T$不一定可对角化?

若 $A$ 可对角化, 记 $n$ 个特征向量分别为 $v_1,\ldots ,v_n$. 此时构造 $n^2$ 个线性无关的 $T$-特征向量(矩阵形式)就行了, 例如
\[
\{(1^kv_l\mid 2^kv_l\mid\cdots \mid n^k v_l)\mid  1\leq k,l\leq n\}.
\]

hbghlyj

关于13(b)我有一点想法
同样可证$\sigma(A)\subset\sigma(U)$.
$f∈F[x]$,则$Af(A)=f(A)A\implies f(A)\in\ker U$
$f(A)$是0-特征向量
但$\det A≠0$时$A$没有0-特征向量
所以$\sigma(A)\subsetneq\sigma(U)$.
没有想出$U$是否可对角化

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-6-20 16:32
关于13(b)我有一点想法
同样可证$\sigma(A)\subset\sigma(U)$.
$f∈F[x]$,则$Af(A)=f(A)A\implies f(A)\in\ ...

最快的方法明摆着是 Kronecker 积. 若 $A=P^{-1}\Lambda P$, 则
\[
A^T\otimes I-I\otimes A=(P^T\otimes P^{-1})(\Lambda\otimes I-I\otimes \Lambda)(P^{-1,T}\otimes P).
\]

DavidHilbert

你搞错了,应该是$AX=\lambda IX$，$(\lambda I-A)X=0$，只要$X$不为$0$矩阵，就有非零列向量，$\lambda I-A$就有非零的零空间，就奇异，于是$\lambda$是$A$的特征值。
你说的$X$不奇异，能推出来的是$\lambda I-A$是零矩阵，完全就不是一个意思

hbghlyj

DavidHilbert 发表于 2023-7-28 17:37
你搞错了,应该是$AX=\lambda IX$，$(\lambda I-A)X=0$，只要$X$不为$0$矩阵，就有非零列向量，$\lambda I-A ...

谢谢！我错了，已修改。