复合函数的对称中心问题

力工

如何从复合函数的角度判断对称中心？
如：函数$f(x)=\frac{b}{a^x+c}，c$不为0,由$u=a^x,y=\frac{b}{u+c}$复合，后者有对称中心$(-c,0)$,那怎么判断$f(x)$的对称中心呢？

isee

这么复杂的函数，不可能直接瞪出对称中心，必须（——即使有，可能也需要依据奇函数平移——）回到定义求解.

isee

isee 发表于 2023-7-21 22:02
这么复杂的函数，不可能直接瞪出对称中心，必须回到定义求解.

曾在知乎提问区写的过程



命题：函数 $f(x)=\dfrac m{a^x+n},\;n\ne 0$ 的对称中心为 $\big(\log_a|n|,\dfrac m{2n}\big)$ .


只需要证明 \[f(2\log_a|n|-x)+f(x)=\frac m{n}.\] 而左边即 \begin{align*}
\frac m{a^{2\log_a|n|-x}+n}+\frac m{a^x+n}&=\frac {ma^x}{a^{2\log_a|n|}+na^x}+\frac m{a^x+n}\\[1ex]
&=\frac {ma^x}{a^{\log_an^2}+na^x}+\frac m{a^x+n}\\[1ex]
&=\frac {ma^x}{n^2+na^x}+\frac {mn}{na^x+n^2}\\[1ex]
&=\frac{m(a^x+n)}{n(a^x+n)}\\[1ex]
&=\frac mn.
\end{align*}

对称中心为 $\big(\log_a|n|,\dfrac m{2n}\big)$ 可简记为横（坐标）下对（数），纵半分.

kuing

isee 发表于 2023-7-21 22:04
曾在知乎提问区写的过程

直接验证当然是没问题，但如果让我写，我会由简单的东西逐步变换出来：

首先由
\[\frac a{a+b}+\frac b{a+b}=1\]
分子除到分母换个元，即得：对 `xy=1` 有
\[\frac1{x+1}+\frac1{y+1}=1,\]
再变成指数，分正负两种情况，正数时作置换 `(x,y)\mapsto(a^x,a^y)`，负数时 `(x,y)\mapsto(-a^x,-a^y)`，即得：对 `x+y=0` 有
\[\frac1{\pm a^x+1}+\frac1{\pm a^y+1}=1,\]
即 `1/(\pm a^x+1)` 的对称中心都是 `(0,0.5)`，而
\[\frac m{a^x+n}=\frac mn\cdot\frac1{\frac{a^x}n+1}=\frac mn\cdot\frac1{\pm a^{x-\log_a\abs n}+1},\]
因此其对称中心便是 `(\log_a\abs n,0.5m/n)`。