一道抽象的题解法疑惑

nttz

$x，y\in R,f(x-f(y)) = 1-x-y,求f(x)$
$设t = x-f(y)，则f(t) = 1-(t+f(y)) -y,   let y= t, 得 f(t) = 1 - 2t - f(t), f(t)= /frac{1}{2} -t$
答案做了和其他人一样，其他人是首先let y= 0，然后代入后然后求解f(0)，请问我这儿let y = t这步有问题么，说说原因来
甚至我想如果可以那样，let x = t岂不是也行，我有点困惑了

Czhang271828

没问题. 令 $x=y+f(y)$, 则 $f(y)=1-2y-f(y)$, 解得 $f(y)=\dfrac{1-2y}{2}$.

又: 贴一个整理后的排版.

题: $x$, $y\in\mathbb R,f(x-f(y)) = 1-x-y$, 求 $f(x)$.

解答: 设 $t = x-f(y)$, 则 $f(t) = 1-(t+f(y)) -y$. 再置 $y= t$, 得 $f(t) = 1 - 2t - f(t)$, 从而 $f(t)= \dfrac{1}{2} -t$.

答案做了和其他人一样, 其他人是首先令 $y= 0$, 然后代入后然后求解 $f(0)$. 请问我这儿令 $y = t$ 这步有问题么, 说说原因来.

我想如果可以这样, $x = t$ 岂不是也行? 我有点困惑了.

nttz

Czhang271828 发表于 2023-8-30 12:09
没问题. 令 $x=y+f(y)$, 则 $f(y)=1-2y-f(y)$, 解得 $f(y)=\dfrac{1-2y}{2}$.

又: 贴一个整理后的排版.

你这样写问题，我那样写的第二步 x = t ，那么 不是$f(y) =0$了么，我的错误在哪儿呢

Czhang271828

nttz 发表于 2023-8-30 14:01
你这样写问题，我那样写的第二步 x = t ，那么 不是$f(y) =0$了么，我的错误在哪儿呢 ...

你的方法经简化即二楼的方法. 先固定 $x-f(y)$ 或是 $y$ 本质上都没区别, $x$ 在 $\mathbb R$ 上取值自由.