来自人教群昨晚的几何题圆内平行求横坐标

kuing

学生-ona(3631******) 2023/9/6 15:45:24

几何法，在单位圆上，存在一点P，使得PA和PB延长后得到C、D，CD//AB，求P横坐标

阅A爱好者🥰k(249533164) 2023/9/6 23:14:28
解：设 `\angle POA=\theta`，则由余弦定理有
\begin{align*}
PA&=\sqrt{1^2+\frac1{2^2}-2\cdot1\cdot\frac12\cdot\cos\theta}=\sqrt{\frac54-\cos\theta},\\
PB&=\sqrt{1^2+\frac1{4^2}+2\cdot1\cdot\frac14\cdot\cos\theta}=\sqrt{\frac{17}{16}+\frac12\cos\theta},
\end{align*}
由相交弦定理有
\begin{align*}
AP\cdot AC&=(r+OA)(r-OA)=\frac34,\\
BP\cdot BD&=(r+OB)(r-OB)=\frac{15}{16},
\end{align*}
于是由 `AB\px CD` 有
\begin{align*}
\frac{PA}{AC}=\frac{PB}{BD}&\iff\frac{PA^2}{PA\cdot AC}=\frac{PB^2}{PB\cdot BD}\\
&\iff\frac{\frac54-\cos\theta}{\frac34}=\frac{\frac{17}{16}+\frac12\cos\theta}{\frac{15}{16}}\\
&\iff\cos\theta=\frac27\iff x_P=-\frac27.
\end{align*}

后记：

阅A爱好者🥰k(249533164) 2023/9/6 23:17:19
沪X学生大羊系：KK不做手出题，怕坑。
@沪X学生大羊系 手抄题尽量不做，但是美眉提问除外

乌贼

如图：
     $ E $为$ CD $中点，$ PF\perp AB $,$ PO $分别交$ CD $和圆于$ N,M $两点。令\[ DN=2x \]得\[ CN=4x \]\[ EN=x \]由\[ \triangle AOP\sim \triangle MND\riff MN=x\]\[ \dfrac{CN}{AO}=\dfrac{PN}{PO}\riff\dfrac{4x}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2-x}{1} \]得\[ x=\dfrac{2}{9} \]又\[ \triangle POF\sim \triangle ONE\riff \dfrac{OF}{AO}=\dfrac{EN}{ON}\riff OF=\dfrac{2}{7} \]

TSC999

此题可用复平面解析几何做：

1. Clear["Global`*"];(*令△ABC的外接圆为单位圆，圆心O为坐标原点，且BC边平行于实轴，AB、AC的复斜率分别为 u^2、v^2 *)
2. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; a = I u v; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/a; b = I u/v;
3. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b; c = I v/u; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 1/c;
4. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d = -1/2; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = e = 1/4;
5. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
6. (*过A1点、复斜率等于k1的直线，与过A2点、复斜率等于k2的直线的交点：*)
7. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
8. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
9. p = Simplify@Jd[k[b, d], b, k[c, e], c]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[b, d], b, k[c, e], c];
10. Simplify@Solve[{p == 1/\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\), p == a}, {u, v}];
11. u = -Sqrt[1/21 (-19 + 4 I Sqrt[5])]; v = 1/63 Sqrt[-399 + 84 I Sqrt[5]] (Sqrt[5] + 2 I);
12. Simplify[a]

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程序运行结果为：\(-\frac{2}{7}+i\frac{3\sqrt{5}}{7}\)