证明方程 $x=a+b\sin x$ 有唯一实数解

APPSYZY

设 $a$ 和 $0<b<1$ 是常数，证明关于 $x$ 的方程 $x=a+b\sin x$ 有唯一实数解.

大家有什么好办法吗？

hbghlyj

假如有2个实数解$x_1,x_2$，则
$$1<\frac1b=\frac{\sin x_1-\sin x_2}{x_1-x_2}$$
但$\frac{\sin x_1-\sin x_2}{x_1-x_2}\le1$，矛盾。

hbghlyj

当$x\to-\infty$ 时 $x-a-b\sin x\to-\infty$
当$x\to+\infty$ 时 $x-a-b\sin x\to+\infty$
由介值定理，存在实数解。

APPSYZY

hbghlyj 发表于 2023-9-16 17:58
假如有2个实数解$x_1,x_2$，则
$$1

$\frac{\sin x_1-\sin x_2}{x_1-x_2}\le1$ 是由 $\sin$ 的凹凸性得到的吗？但是解的存在性该如何说明呢？

APPSYZY

hbghlyj 发表于 2023-9-16 18:22
在2#解的存在性

看到了，感谢！

hbghlyj

APPSYZY 发表于 2023-9-16 18:06
$\frac{\sin x_1-\sin x_2}{x_1-x_2}\le1$ 是由 $\sin$ 的凹凸性得到的吗？

Lipschitz continuity
方法一、中值定理 存在$\xi$介于$x_1,x_2$之间，使得${\sin(x_1)-\sin(x_2)\over x_1-x_2}=\cos\xi$，而$\cos\xi\leq1$

How to prove that $\sin x$ is a lipschitz continuous function on the real line?
方法二、由 $\sin(x_1)-\sin(x_2)=2\cos\left(x_1+x_2\over2\right)\sin\left(x_1-x_2\over2\right)$ 与 $|\cos t|≤1$ 与 $|\sin t|≤|t|$
$$|\sin(x_1)-\sin(x_2)|\leq 2\left|\sin\left(x_1-x_2\over2\right)\right|\leq|x_1-x_2|$$

hbghlyj

APPSYZY 发表于 2023-9-16 16:50
设 $a$ 和 $0<b<1$

当$b=1$好像也是唯一解。

isee

APPSYZY 发表于 2023-9-16 18:06
$\frac{\sin x_1-\sin x_2}{x_1-x_2}\le1$ 是由 $\sin$ 的凹凸性得到的吗？但是解的存在性该如何说明呢？ ...

限定 $x_1>x_2$ 好了，则\[\iff x_1-\sin x_1\geqslant x_2-\sin x_2\iff y=x-\sin x\,\uparrow\]

hbghlyj

Banach fixed-point theorem
$T(x)=a+b\sin x$为$\mathbb R$上的一个压缩映射，那么映射$T$在$\mathbb R$内有且只有一个不动点。

APPSYZY

hbghlyj 发表于 2023-9-16 22:44
Banach fixed-point theorem
$T(x)=a+b\sin x$为$\mathbb R$上的一个压缩映射，那么映射$T$在$\mathbb R$内 ...

网站打不开……能简单写一下 $T(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的压缩映射的证明吗？感谢！~~

hbghlyj

APPSYZY 发表于 2023-9-17 01:31
网站打不开……能简单写一下 $T(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的压缩映射的证明吗？感谢！~~ ...

$\abs{T(x_1)-T(x_2)}=b\abs{\sin x_1-\sin x_2}\le b\abs{x_1-x_2}$，$0<b<1$，故$T(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的压缩映射