中线延长线交外接圆

hbghlyj

$\triangle ABC$中线延长交外接圆于三点形成$\triangle A'B'C'$，求证$\S{A'B'C'}\ge\S{ABC}$.
size(6cm);
pair A = dir(100);
pair B = dir(200);
pair C = dir(340);
pair G = (A + B + C) / 3;
pair A_prime = intersectionpoint(A--(3G-2A), unitcircle);
pair B_prime = intersectionpoint(B--(3G-2B), unitcircle);
pair C_prime = intersectionpoint(C--(3G-2C), unitcircle);
draw(unitcircle);
draw(A--B--C--A);
draw(A--A_prime);
draw(B--B_prime);
draw(C--C_prime);
dot("$A$", A, dir(A), red);
dot("$B$", B, dir(B), red);
dot("$C$", C, dir(C), red);
dot("$A'$", A_prime, dir(A_prime), blue);
dot("$B'$", B_prime, dir(B_prime), blue);
dot("$C'$", C_prime, dir(C_prime), blue);
dot("$G$", G,S, red);

kuing

原来也没有想象中那么难，我甚至得到了一个很简洁的面积比表达式。

记 `BC=a` 等，`a` 边上的中线长为 `m_a` 等，`\triangle ABC` 的面积为 `S`。

设 `BC` 中点为 `D`，则有
\[\frac12S=\S{ADC}=\frac12m_ab\sin\angle DAC,\]
于是有
\[\sin\angle A'AC=\sin\angle DAC=\frac S{m_ab},\]
再计算 cos 的，由余弦定理有
\[\cos\angle A'AC=\cos\angle DAC=\frac{m_a^2+b^2-(a/2)^2}{2m_ab},\]
同理有
\begin{align*}
\sin\angle B'BC&=\frac S{m_ba},\\
\cos\angle B'BC&=\frac{m_b^2+a^2-(b/2)^2}{2m_ba},
\end{align*}
所以
\begin{align*}
\sin\angle A'C'B'&=\sin(\angle A'C'C+\angle B'C'C)\\
&=\sin(\angle A'AC+\angle B'BC)\\
&=\sin\angle A'AC\cos\angle B'BC+\cos\angle A'AC\sin\angle B'BC\\
&=\frac S{m_ab}\cdot\frac{m_b^2+a^2-(b/2)^2}{2m_ba}+\frac{m_a^2+b^2-(a/2)^2}{2m_ab}\cdot\frac S{m_ba}\\
&=\frac{(4m_a^2+4m_b^2+3a^2+3b^2)S}{8abm_am_b},
\end{align*}
由中线长公式有 `2m_a=\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}`, `2m_b=\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}`，可得 `4m_a^2+4m_b^2+3a^2+3b^2=4(a^2+b^2+c^2)`，所以上式化为
\[\sin\angle A'C'B'=\frac{(a^2+b^2+c^2)S}{2abm_am_b},\]
【如此简洁漂亮的表达式，我估计有更简单的推导方法】
同理可写出另外两式，设外接圆半径为 `R`，则
\begin{align*}
\S{A'B'C'}&=2R^2\sin\angle A'C'B'\sin\angle B'A'C'\sin\angle A'B'C'\\
&=2R^2\frac{(a^2+b^2+c^2)^3S^3}{8a^2b^2c^2m_a^2m_b^2m_c^2}\\
&=2R^2\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{8a^2b^2c^2m_a^2m_b^2m_c^2}\left(\frac{abc}{4R}\right)^2S\\
&=\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{4^3m_a^2m_b^2m_c^2}\cdot S,
\end{align*}
这就是俩三角形的面积关系式，那么要证明 `\S{A'B'C'}\geqslant S` 也就是证明
\[(a^2+b^2+c^2)^3\geqslant4^3m_a^2m_b^2m_c^2,\]
代中线长公式即
\[(a^2+b^2+c^2)^3\geqslant(2b^2+2c^2-a^2)(2c^2+2a^2-b^2)(2a^2+2b^2-c^2),\]
由均值知上式显然成立，即得证。

lihpb

四面体上好像也成立

hbghlyj

Geometric Inequalities - Bottema, et. al. (1968)
10.2