介 绍 复 斜 率 解 析 几 何

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假定 A 和 B 是复平面上的两个点。它们的坐标是 (XA, YA) 和 (XB, YB)，用复数 a 和 b 来表示 A、B 点的坐标，称为复数坐标或复坐标，可写成：\(a=XA + i YA; b=XB + i YB;\)
假定  A 和 B 共轭点是 \(\overline{A}\) 和  \(\overline{B}\) ，那么它们的共轭复坐标为
\(\overline{a}=XA - i YA\) 和  \(\overline{b}=XB - i YB\)。
AB 是一条线段，在笛卡尔坐标系中，AB 对于横坐标轴的倾斜角的正切，叫做 AB 线的斜率。现在引入一个复斜率的概念，这个概念可能是某个外国人最先提出来的。AB 的复斜率 kAB 的定义是：
\(kAB=\frac{a-b}{\overline{a}-\overline{b}} \)。
对于复斜率而言，它也是直线对实轴倾角的函数，见下图，它可以认为是复斜率的另一个定义：

根据上面的公式，当已知两条相交直线的复斜率时，它们的交角就可以通过复斜率之比算出来。

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如果直线 AB  与实轴平行，那么 AB  的复斜率等于  1，如果 AB  与虚轴平行，那么 AB  的复斜率等于 - 1。
不存在复斜率等于零的直线和复斜率等于无穷大的直线。这一点是与笛卡尔解析几何中斜率不同之处，后者当直线与横坐标轴平行时，斜率为 0，直线与纵坐标轴平行时，斜率为无穷大。
当两条直线互相垂直时，它们的复斜率互为相反数。
当两条直线互相平行时，它们的复斜率相等。
当直线 L 与横坐标轴平行或者垂直时，那么直线 AB 关于 L 的镜像直线 CD 的复斜率等于 AB 复斜率的倒数。
如果三点 A、B、C  位于同一条折线上，当复斜率  kAB = kBC 或者  kAB = kAC 时三点共线。
如果 ∠ABC 的平分线为 BM，则角平分线 BM 的复斜率的平方等于该角两边复斜率的乘积。
即  \(kBM^2 = kAB × kBC\)。

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在复平面中，已知直线 AB 和直线 CD，若已知 A、B、C、D 的复坐标 a、b、c、d，如何求这二直线的交点 Z 的坐标 z ?
因为 Z 点在直线 AB 上，所以 kAB=kAZ -------①，
同样，因为 Z 点在直线 CD 上，所以 kCD=kCZ -------②，
①、② 两个方程联立，借助于 mathematica 这个计算软件，就可以解出这个方程组：

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在复平面中，已知直线 AB 和直线外的一点 P，若已知 A、B、P 各点的复坐标 a、b、p，如果 P 点到直线 AB 的垂足为 Q 点，如何求 Q 点的复坐标 ?
因为 Q 点是垂足，所以 Q 点在直线 AB 上，因此有 kAB=kAQ -------①
因为 PQ 垂直于 AB，因此 kAB= - kPQ -------②

联立上面两个方程，借助于 mathematica 计算软件求解如下：

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在复平面中，已知直线 AB 和直线外的一点 P，若已知 A、B、P 各点的复坐标 a、b、p，求 P 点关于直线 AB 的镜像点 Q 的复坐标。
设镜像点 Q 与 P 点连线 PQ 与 AB 的交点为 E，则 E 点是 PQ 的中点。
\(e=\frac{p+q}{2}， \overline{e}=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\)  -------①
由于 E 点在直线 AB 上，因此有 kAB=kAE -------②
因为 PQ 垂直于 AB，因此 kAB= - kPQ -------③

借助于 mathematica 计算软件求解 Q 点的坐标如下：

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在复平面中，已知直线 AB 两个端点的坐标，求 AB 的长度。

可见 AB 长度等于：\(AB=\sqrt{(a-b)(\overline{a}-\overline{b})}\)

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在复平面中，已知 △ABC 各顶点的坐标，求其外接圆圆心 O 的坐标。

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在复平面中，已知 △ABC 各顶点的坐标，求其内切圆圆心 I 的坐标。

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已知三角形ABC 三个顶点的复坐标，求其垂心复坐标，该公式推导如下：


在上面的证明中，引用了【已知一直线及直线外的一点，从该点向直线引垂线，垂足的复坐标公式】，这个公式的证明见本帖 4# 。
本帖的程序，其实就是一个借助 mathematica 计算软件用【复斜率解析几何】知识做题的例子。

程序代码：

1. Clear["Global`*"];(*由三角形的三个顶点求垂心：*)
2. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));  (*复斜率定义*)
3. Foot[p_, x_, y_] := ( \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) y - x \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\) + (x - y) \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) + (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\)) p)/(2 (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\)));  (* 从P点向直线XY引垂线，垂足的复坐标 *)
4. \!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[p_, x_, y_] := (x \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) y + (\!\(\*OverscriptBox[\(x\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(y\), \(_\)]\)) p + (x - y) \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))/(2 (x - y));  
5. a1 = Simplify@Foot[a, b, c]; \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[a, b, c];(*从顶点A向BC边引垂线，垂足为A1*)
6. b1 = Simplify@Foot[b, a, c]; \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Foot\), \(_\)]\)[b, a, c];(*从顶点B向AC边引垂线，垂足为B1*)
7. Simplify@Factor@Solve[{k[a, a1] == k[a, h], k[b, b1] == k[b, h]}, {h, \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\)}](*求AA1与BB1的交点，即是垂心*)

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TSC999 发表于 2023-11-17 05:42
现在引入一个复斜率的概念，这个概念可能是某个外国人最先提出来的。AB 的复斜率 kAB 的定义是：\(kAB=\frac{a-b}{\overline{a}-\overline{b}} \)。

确实！我在jstor.org/stable/40378668 中看到了“complex slope”就是用您给出的公式算的：