已知 a,b,c 都是正数且 a+b>c 以及 a+c>b, 是否恒有 b+c>a ?

TSC999

此题即一个三角形，已知第一边长度与第二边长度之和大于第三边，第一边长度与第三边长度之和大于第二边，证明第二边长度与第三边长度之和大于第一边。

这是个小学生的问题吧？ 但是急切之下我却不会证明了。怎样想到这事的？看下面的问题：

从 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 中任取 3 个数，使其能构成一个三角形，有几种不同取法？
编程计算如下：

1. Clear["Global`*"];
2. x = Subsets[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, {3}];(*从10个不同元素中每次取出3个进行组合*)
3. Length[x]
4. x;
5. k = 0;
6. Do[a = x[[i]];(*第 i 个组合的列表*)
7. If[a[[1]] + a[[2]] > a[[3]] && a[[1]] + a[[3]] > a[[2]], k++;
8.   If[k == 3, Print["\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]\[CenterEllipsis]"]\
9. , If[(k < 3 || k > 47), Print[k, "-----", a]]]],
10. {i, 1, Length[x]}]

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程序运行结果：

问题是，在上面的程序中，只写出了 a[[1]] + a[[2]] > a[[3]] && a[[1]] + a[[3]] > a[[2]], 省去了 && a[[2]] + a[[3]] > a[[1]], 怎么证明可以省掉它？

另外，用软件证明这个不等式的程序如下：

证明失败了，如何改动上面的程序才能证明成功？

另，此题用编程解，有更简单的程序：

1. Length@Select[Subsets[Range@10, {3}], Total@# > 2 #[[3]] &]

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realnumber

叙述有些混乱，既然三角形三边，这些都成立，两点间线段距离比其它（折线）要短。
不是三角形，并不成立，比如a=100,b=3,c=4,此时a+b>c,a+c>b,但b+c<a.
你说的是这个吗？

kuing

楼主的问题无关数学，而是软件的事儿。

命令
Subsets[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, {3}]
列出的子集仍保持原来的顺序，即 {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5} 等等，但不会出现 {3, 2, 1}，因此后面其实只要满足 a[[1]] + a[[2]] > a[[3]] 就行，连 a[[1]] + a[[3]] > a[[2]] 都可以省去，就这意思。

如果改成 Subsets[{10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}, {3}]，那就应该反过来必须满足 a[[2]] + a[[3]] > a[[1]]。