这道条件是既有加又有减的乘积的不等式的最小值是多少

其妙

把条件中的4，改成$m^2$，答案又是多少？

kuing

注意到齐次性：作置换 `(a,b,c)\mapsto(ka,kb,kc)` 对于条件和所求式完全无影响，因此可以不妨设 `c=1`。

此时令
\[x=a+b,~y=\frac1a+\frac1b,\]
则条件化为
\begin{gather*}
(x-1)(y-1)=4, \\ x+y=xy-3,
\end{gather*}
均值后易得
\[xy\geqslant9,\]
而对于所求式，由 `ab=x/y` 可得
\begin{align*}
(a^2+b^2-1)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}-1\right)&=\left(x^2-\frac{2x}y-1\right)\left(y^2-\frac{2y}x-1\right)\\
&=\left(\frac xy(xy-2)-1\right)\left(\frac yx(xy-2)-1\right)\\
&=(xy-2)^2-(xy-2)\left(\frac xy+\frac yx\right)+1\\
&=(xy-2)^2-(xy-2)\left(\frac{(x+y)^2}{xy}-2\right)+1\\
&=(xy-2)\left(xy-\frac{(xy-3)^2}{xy}\right)+1\\
&=6xy+\frac{18}{xy}-20,
\end{align*}
易知当 `xy\geqslant9` 时上式关于 `xy` 递增，所以
\[(a^2+b^2-1)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}-1\right)\geqslant6\cdot9+2-20=36,\]
当 `x=y=3` 取等，代回去解得
\[a=\frac{3\pm\sqrt5}2,~b=\frac{3\mp\sqrt5}2,\]
所以最小值就是 `36`。

其妙

厉害！

Aluminiumor

写个 $m^2$ 的情况：
仿照kuing的做法，得
$$x+y=xy-m^2+1\Rightarrow xy\geq(m+1)^2$$
该不等式可取到等号.
目标式化简可得
$$2(m^2-1)(xy+\frac{m^2-1}{xy})-(m^4+2m^2-4)$$
显然 $0\leq m^2<1$ 时不存在最小值
$m^2=1$ 时，目标式恒为1
$m^2>1$时，显然 $(m+1)^2>\sqrt{m^2-1}$ ，故目标式在 $xy=(m+1)^2$ 时取得最小值.
计算可得最小值为 $m^4+4m^3-8m+4$.