是否有初等的方法可证明任意多个连续奇数的倒数和不是整数。

uk702

求证：不存在正整数 x, n ，使得 $\frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{2x+3} + ...+ \frac{1}{2x + 2n + 1}$ 是整数。

Czhang271828

定义映射($3$-adic valuation):
$$
v_3:\mathbb N_+\to \mathbb N,\quad n\mapsto \max\{d\in \mathbb N\mid n\cdot 3^{-d}\in \mathbb N_+\}.
$$
例如 $v_3(1)=0$, $v_3(18)=2$. 题主可自行验证: 对任意给定的 $x,n\in \mathbb N$
$$
\{2x+1,\ldots, 2x+2n+1\}
$$
中存在唯一的数 $k$ 使得 $v_3(k)$ 最大.

以及, 可自行推广该命题.

uk702

Czhang271828 发表于 2024-1-27 19:15
定义映射($3$-adic valuation):
$$
v_3:\mathbb N_+\to \mathbb N,\quad n\mapsto \max\{d\in \mathbb N\m ...

这个方法可以证明如下式子一定不是整数：
\[ 1 + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{2n+1} \]

证：令 $m$ 使得 $3^m ≤ 2n+1 < 3^{m+1}$ ，则易知
\[ k \in \{ 1, 3, ..., 2n + 1 \} \]
中，只有一个 $k = 3^m$ 满足 $ 3^m | k$，原因是 $2*3^m$ 是偶数而 $3*3^m > 2n+1 $

下略。

详可见：
math.stackexchange.com/questions/2677350/elementary-proof-of-sum ... -odd-denominators-is
math.stackexchange.com/questions/5219/how-do-i-prove-this-sum-is-not-an-integer

uk702

本着尽可能消灭遗留问题的精神，我将问题发到 math.stackexchange.com/ 上，那里的老师给了一个完整的证明（其实 90% 的证明我们都已经完成了），大体在 @Czhang271828 老师的 2# 基础上继续完善。

考虑 $ \{ 2x + 1, 2x+3, ..., 2x + 2n + 1 \} $ 中其因子 3 的最高幂次，不妨设为 $k$，
显然  $ \{ 2x + 1, 2x+3, ..., 2x + 2n + 1 \} $ 中因子 3 的最高幂次为 k 的数最多只有 1 个或 2 个。

若只有 1 个，按 2#，显然 $S = \frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{2x+3} + ...+ \frac{1}{2x + 2n + 1}$ 不是整数。

若有 2 个，设第一个 $a = P \ 3^k$，第二个 $b = Q \ 3^k$，其中 $P$、$Q$  是奇数且 $P < Q$。显然 $Q-P < 3$，
∴ $Q = P+1$ 或 $P+2$，但由于 P、Q 是奇数，
∴ 必有正整数 m，使得 $P=6m-1$，$Q=6m+1$，
且 $2x+1 > (6m-3) \ 3^k$，$2x+2n+1 < (6m+3) \ 3^k$

∴ 这时
$$ \frac{1}{2x+1} + ... + \frac{1}{2x+2n+1}
< \frac{1}{(6m-3) \ 3^k} + ... + \frac{1}{(6m + 3) \ 3^k}
< \frac{3 \  3^k}{(6m - 3) \ 3^k} <= 1
$$

不可能是整数。