主理想 $(2)$ 分解做素理想之积

hbghlyj

sagecell.sagemath.org/

1. K.<a>=NumberField(x^2 + 3)
2. (2+0*a).factor()

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結果：2

1. K.<a>=NumberField(x^2 + 5)
2. (2+0*a).factor()

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結果：ArithmeticError: non-principal ideal in factorization
怎麼不是2啊？

能不能寫出一組解？
$2=(p+q\sqrt{-5})(p-q\sqrt{-5})$其中$p,q\inQ$
令$p=\frac xz,q=\frac yz,(x,y,z\inZ)$得$2z^2=x^2+5y^2$

hejoseph

那个方程不是 Pell 方程。

有这样的结论：设 $a$、$b$、$c$ 均是非零整数，且乘积 $abc$ 无平方因数，那么不定方程 $ax^2+by^2+cz^2=0$ 有非全是零解的充要条件是：$a$、$b$、$c$ 的正负号不全相同，以及 $-bc$、$-ca$、$-ab$ 分别是模 $a$、$b$、$c$ 的二次剩余，即二次同余方程 $s^2\equiv -bc\pmod{|a|}$、$t^2\equiv -ca\pmod{|b|}$、$v^2\equiv -ab\pmod{|c|}$ 均有解。

这里 $a=1$、$b=5$、$c=-2$，$s^2\equiv 10\pmod{1}$、$v^2\equiv -5\pmod{2}$ 均有解，但 $t^2\equiv 2\pmod{5}$ 无解，所以 $2z^2=x^2+5y^2$ 无非全是零解。

hbghlyj

所以這個數域裡，2是不可约數 ✔️

SageMath怎麼判斷一個數是不可约數呢？

另外，它說的non-principal ideal是什麼意思

Czhang271828

给定代数整环(Dedekind 整环)上的理想可以唯一地分解作素理想(此处等价于极大理想)的乘积. 所以代数整环上的数 $r$ 应该看作主理想 $(r)$. 称 $a$ 是素数, 当且仅当 $(a)$ 是素理想.

注意到 $2\cdot 3=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})$, 从而 $\{2,3,1\pm\sqrt{-5}\}$ 都只是个不可约的数, 并不是什么素数. 主理想 $(2)$ 分解做素理想之积的形式是
$$
(2)=(2,1+\sqrt {-5})^2.
$$

简而言之, $\mathbb Z$ 上的概念应当如此迁移至 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. 整数 $d$ 对应做理想 $I$, 素数对应作素理想, 唯一因式分解定理对应作唯一理想分解定理.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-2-1 08:24主理想 $(2)$ 分解做素理想之积的形式是
$$
(2)=(2,1+\sqrt {-5})^2.
$$

1. # Define the quadratic field
2. K = QuadraticField(-5)
4. # Define the ring of integers for the field
5. O = K.ring_of_integers()
7. # Create an ideal with the number
8. I = O.ideal(2)
10. # Factorize the ideal
11. factors = I.factor()
13. print(factors)

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輸出：(Fractional ideal (2, a + 1))^2
意思應該就是$ (2)=(2,1+\sqrt {-5})^2. $
但怎麼分解的呢

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-2-1 17:00
輸出：(Fractional ideal (2, a + 1))^2
意思應該就是$ (2)=(2,1+\sqrt {-5})^2. $
但怎麼分解的呢 ...

注意到 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]\cong \frac{\mathbb Z[X]}{(X^2+5)}$. 首先 $(2,1+\sqrt 5)$ 是素理想, 因为
$$
\frac{\mathbb Z[\sqrt{-5}]}{(2,1+\sqrt{-5})}\cong \frac{\mathbb Z[X]}{(X^2+5,2,1+X)}\cong \mathbb Z/2\mathbb Z
$$
是整环. 随后证明 $(2,1+\sqrt{-5})^2=(2)$, 注意到
$$
(2)\subset (4,2(1+\sqrt{-5}),(-4+2\sqrt{-5}))\subset (2).
$$
左 $\subset$ 是因为中间理想的三个数可以表示出 $2$.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-2-1 09:10$$\frac{\mathbb Z[\sqrt{-5}]}{(2,1+\sqrt{-5})}\cong \frac{\mathbb Z[X]}{(X^2+5,2,1+X)}\cong \mathbb Z/2\mathbb Z$$

如何看出？
$$\Bbb Z[\sqrt{-5}]/(2,\,1+\sqrt{-5})\cong\left(\Bbb Z[x]/(x^2+5)\right)/(2,\,1+x)\cong$$
$$\cong\Bbb Z[x]/(x^2+5,\,2,\,1+x)\cong\Bbb Z[x]/(2,1+x)$$
(最後一步是因為$X^2+5=(1+X)^2\mod2\implies X^2+5\in(2,1+X)\implies(X^2+5,2,1+X)=(2,1+X)$)
$$\Bbb Z[x]/(2,1+x)\cong\Bbb Z[x]/(2,x)\cong\Bbb Z_2[x]/(x)\cong\Bbb Z_2$$
\begin{flalign*}
  &&化出來了！
%%% 等价于\begin{multline*}\shoveright化出來了！\end{multline*}
%%% 或者用\hfil
\end{flalign*}

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-2-1 09:10$$(2)\subset (4,2(1+\sqrt{-5}),(-4+2\sqrt{-5}))\subset (2).$$

$(2,1+\sqrt{-p})^2=(4,2(1+\sqrt{-p}),1-p+2\sqrt{-p})$
對於一般的$p\equiv1\mod4,$
$$-2(1+\sqrt{-p})+(1-p+2\sqrt{-p})=-1-p\equiv2\mod4$$
仍成立
$$(2)\subset(2,1+\sqrt{-p})^2\subset (2).$$
那是否說明，$(2)=(2,1+\sqrt {-p})^2$仍成立？

hbghlyj

小於100的素數$p\equiv1\pmod4$有5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89
驗證一下$(2)=(2,a+1)^2$，$p=5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89$

1. for p in [5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89]:
2.     K.<a> = QuadraticField(-p)
3.     O = K.ring_of_integers()
4.     print(O.ideal(2)==(O.ideal (2, a + 1))^2)

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True
True
True
True
True
True
True
True
True
True

hbghlyj

2 is “ramified” in Q(√−5), but 3 is not.

page48

hbghlyj

对$K=\mathbf Q[\sqrt{-5}]$，由$(x^2+5)\equiv(x+1)^2\pmod2$推出$$(2)=(2,\sqrt{-5}+1)^2$$
所有素数$p$，都能用Dedekind's index theorem分解$(p)$吗？

hbghlyj

这里說，需要$p \nmid\left[\mathcal{O}_K: \mathbf{Z}[\alpha]\right]$
為什麼需要這個條件呢？

hbghlyj

Example 2.1. $K=\mathbf{Q}(\sqrt[3]{12})$
这时$2 \mid\left[\mathcal{O}_K: \mathbf{Z}[\sqrt[3]{12}]\right]$，是不是不能使用上面的方法呢？

在第7页表格中列出，$\sqrt[3]{12}^2 / 2=h(\alpha) / p \in \mathcal{O}_K-\mathbf{Z}[\alpha]$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-24 17:33
这里說，需要$p \nmid\left[\mathcal{O}_K: \mathbf{Z}[\alpha]\right]$
為什麼需要這個條件呢？ ...

看了下kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/disc.pdf
$(p)$ ramify就会导致$\bar f$有重根，$\bar f$的判别式为0，从而$f$的判别式$\equiv0\pmod p$.

在$p \nmid\left[\mathcal{O}_K: \mathbf{Z}[\alpha]\right]$的条件下，成立$$p \mid \operatorname{disc}(f) \text { if and only if } p \mid \operatorname{disc}_{\mathbf{Z}}\left(\mathcal{O}_K\right) \text {. }$$