抛硬币产生的概率问题

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一枚硬币独立地由甲抛掷k次，由乙抛掷n-k次，证明：甲和乙抛掷出相同次正面的率等于两人总共抛出k次正面的概率。

Czhang271828

不妨设甲认错硬币正反面了, 显然.

更形象的说法可以是这样: 设甲的硬币正面红色反面蓝色, 相反地, 乙的硬币正面蓝色反面红色.

"两人抛出相同次正面"等价于"共抛出 $k$ 次蓝色面". 考虑独立性与对称性, 显然.

ic_Mivoya

楼上正解；另外这里写一个更形式化的证明：

设甲、乙抛出正面的次数分别为 $x,y$ ，则

$\begin{aligned}P(x=y)&=\sum_{i=0}^kP(x=i)P(y=i)\\ P(x+y=k)&=\sum_{i=0}^kP(x=k-i)P(y=i)\end{aligned}$

依对称性显然有 $P(x=i)=P(x=k-i)$ ，即得 $P(x=y)=P(x+y=k)$ 。