球表面积的推导

hjfmhh

请教：新教材是由球的表面积推导出球的体积，而没有说清楚球的表面积是怎么来的？而老教材是先由祖暅原理求出体积，再求表面积。球的表面积公式有其他的推导方式吗？

hbghlyj

阿基米德的墓中雕刻有一个圆柱体和球体
我们将半径为 ${r}$ 的球面内接于一个半径与高度为 ${2r}$ 的圆柱体上，如图所示。

下图是内切球在 $x$-$z$ 平面上的截面图，此时它变成了一个半径为 ${r}$ 的圆，内切于边长为 ${2r}$ 的正方形。

假设 ${\Delta \theta}$ 是角度 ${\theta}$ 的“微小”增量。

那么一方面（如果我们忽略 ${\pm}$ 号）， \begin{array}{rl} \displaystyle \Delta z=r \Delta \theta \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=r\Delta \theta \sin \theta.\end{array} 因此圆柱的微小面积元为 $\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle \Delta A_{\mathrm{cylinder}} =& \displaystyle 2\pi r \cdot \Delta z\\ =& \displaystyle 2\pi r ^2 \sin \theta \Delta \theta. \end{array} $

另一方面，球的微小面积元为 $\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle \Delta A_{\mathrm{sphere}} =& \displaystyle r \Delta \theta\cdot 2\pi r \sin \theta\\ =& \displaystyle 2\pi r^2 \sin \theta\Delta \theta\\=&\displaystyle \Delta A_{\mathrm{cylinder}}. \end{array} $

我们得出结论，投影是保面积的，因此圆柱的侧面与球的面积相同。所以球的面积为 ${2\pi r\times 2r=4\pi r^2}$。

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记$d=R\sin\theta$，
投影保面积还可以这样看：长方形的宽变大$\times\frac Rd$倍，高变小$\times\frac dR$倍：
$$\frac Rd\times\frac dR=1$$
因此，微小长方形在投影前后的面积相等：

非常好看的视频：3blue1brown.com/lessons/sphere-area包含两种证明，以上是第一种。

hbghlyj

《Visual Differential Geometry and Forms: A Mathematical Drama in Five Acts 视觉微分几何与形式：五幕数学剧》
作者：Tristan Needham

Exercises for Act II
第85页第10题
Archimedes–Lambert Projection

阿基米德-兰伯特投影。在$(x, y)$平面上，考虑矩形$\{0 \leqslant x \leqslant 2 \pi R$, $-R \leqslant y \leqslant R\}$。现在首先将左右边缘粘合在一起形成一个圆柱，然后将其套在一个半径为$R$的球体上，使圆柱沿其赤道接触球体，如下图所示。我们现在通过将球体的点水平投影到圆柱上，径向向外，垂直于圆柱的轴线，如图所示绘制球体的地图。这就是阿基米德-兰伯特投影，最早由阿基米德（约公元前250年）研究，然后在大约2000年后，即1772年由兰伯特重新发现并发表。兰伯特的开创性论文是对地图进行系统数学研究的第一部著作，基于它们所保留的属性。
(i) 证明（最好是几何地）球体的度量现在变为
\[
d \hat{s}^2=\left(R^2-y^2\right) d x^2+\frac{d y^2}{R^2-y^2}
\]
(ii) 应用曲率公式(4.10)确认$\mathcal{K}=+1 / R^2$。
(iii) 使用(4.12)推导出投影保面积。例如，两个示例的T形区域具有相等的面积。正如阿基米德所意识到的，这意味着整个球体的面积必须等于原始矩形的面积：$(2 \pi R)(2 R)=4 \pi R^2$。阿基米德对此（以及相关的体积发现）感到非常自豪，以至于他要求朋友们在他的墓碑上刻上这个特定的图示。大约一个半世纪后，即公元前75年，西塞罗寻找并找到了被灌木丛覆盖的墓碑，但圆柱和球体仍然可见。
(iv) 使用前一部分推导（无需积分）极冠区域$0 \leqslant \phi \leqslant \Phi$的面积$\mathcal{A}$为
\[
\mathcal{A}=2 \pi R^2(1-\cos \Phi)
\]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-17 20:27
(i) 证明（最好是几何地）球体的度量现在变为
\[
d \hat{s}^2=\left(R^2-y^2\right) d x^2+\frac{d y^2}{R^2-y^2}
\]

在上图中，假设我固定$y$并旋转$r$角度$d \theta$，获得的长度是多少？

$ \delta s= r' \delta \theta$

为此，我们绘制一个图：

我们可以写：
$$ r' = \sqrt{R^2 - y^2} \tag{1}$$
将其代入距离方程：
$$ \delta s = \sqrt{R^2 - y^2} \delta \theta$$
或者，
$$ \frac{ \delta s}{\delta \theta} = \sqrt{R^2-y^2} \tag{2}$$
接下来我们需要检查当$y$增加时获得的距离，在(1)中，我们可以取微分：
$$ \delta r'= \frac{-2y \delta y}{\sqrt{R^2 -y^2}} \tag{3}$$

$\delta r'$代表什么？随着$y$增加，圆的半径缩小：

弧长（浅蓝色）应为：
$$\delta s = \sqrt{\delta y^2-\delta r^2}
\tag{4}$$
在(4)中使用(3)，我们有：
$$ \delta s = \frac{ R^2\delta y}{\sqrt{R^2-y^2}}$$
或者，
$$ \frac{\delta s}{\delta y} = \frac{R^2}{\sqrt{R^2 -y^2}}$$
由于从几何上我们可以看到度量是正交的（原书第37页），我们可以写：
$$ ds^2 =  \frac{R^2dy^2}{R^2-y^2} +  (R^2-y^2)d \theta^2$$