4个公共点(两个相同)和1个公共切线 二次曲线

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/316849/
例如两个二次曲线 $x^2−y=0$ 和 $3x^2−y−2=0$。交集如下图所示：

它们有 4 个公共点 $[1,0,0],[1,0,0],[\pm1,1,1]$ 和 1 个公共切线$z=0$。

hbghlyj

由两个二次曲线确定的线性系统
$$ C_1 -\lambda C_2$$
寻找该系统中的退化二次曲线
$$\det(C_1 -\lambda C_2)=0$$
即
$$\det(C_1\cdot C_2{}^{-1}-\lambda I)=0$$
在这种情况下$ C_1 \cdot C_2{}^{-1}$不可对角化，因为它有一个大小为 2 的 Jordan 块
$ C_1 \cdot C_2{}^{-1}$有2个特征值(对应于2个退化二次曲线)，其中一个$\lambda=1$(重数为2)对应于$C_d=C_1-1⋅C_2$
正如我们刚才所说 $C_d$ 代表退化二次曲线。在我们的例子中它可以分解为两条直线 m 和 l 的乘积：
(here are the details on how to perform the Decomposition of a degenerate conic)
\[C_d = m \cdot l^T + l \cdot m^T\]
在我们的例子中
$$l=[1\ 0\ 1]$$
$$m=[−1\ 0\ 1]$$
代表两条竖直线。这是因为它们分别经过一个有限交点和无限交点 $[1,0,0]$ 并且有两个有限交点 $[\pm1,1,1]$.