一个形式简单的非完全平方数问题

睡神

证明：$\forall k\in N^*$，$3^{2k+3}-2$都不可能为完全平方数

睡神

更一般的情形，猜测：$k\in N^*,p$为素数，$p^{2k+1}-2$为完全平方数的充要条件为$p=3,k=1$
当$p=2$或$p=5$时，易证得不存在完全平方数

睡神

说一下这个猜想的由来，在拜读k神15年撸题集，有这么一个数列题：

题目 2.5.1. 已知 $a_{0} = 1$, $a_{1} = 3 $，且 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_{n} = 0$，证明当 $n>1$ 时，不存在正整数 $k$ 使得 $a_{n}=3^k$。
帖地址  kuingggg.github.io/5d6d/thread-1420-1-2.html
贴题者  reny

证明  由 $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$，我们逐步递推下去，可以得到
\[a_{n+9} = 40545 a_{n+1} - 10864 a_n = 265\times9\times17\cdot a_{n+1} - (71\times9\times17+1)\cdot a_n,\]
所以
\begin{align*}
a_{n+9} & \equiv -a_n \pmod9,\\
a_{n+9} & \equiv -a_n \pmod{17},
\end{align*}
由此可见，$9\mid a_{n+9}$ 当且仅当 $9\mid a_n$；$17\mid a_{n+9}$ 当且仅当 $17\mid a_n$。

我们分别列出 $a_0$ 到 $a_8$ 除以 $9$ 和除以 $17$ 所得的余数，分别为 $1$, $3$, $2$, $5$, $0$, $4$, $7$, $6$, $8$ 和 $1$, $3$, $11$, $7$, $0$, $10$, $6$, $14$, $16$，正好被整除的位置相同，故此 $9\mid a_n$ 当且仅当 $17\mid a_n$。

易知当 $n>1$ 时 $a_n>9$，所以假如 $n>1$ 时 $a_n=3^k$，则必定 $9\mid a_n$，于是又有 $17\mid a_n$，矛盾。

解答时间  2013-4-26
注  上述证明其实是由帖中几位网友一起讨论出来的，最后发现考虑模 17 的是网友「零定义」，而我主要是提供数据（利用软件列表）以及写上面这个坑爹的过程。
不知有没有更简单的证法，有时间再研究下。

睡神

然后想到了另一处理方法，就尝试了一下，结果就是试试就逝世。。。
新解：
显然$a_n\in N^*$，且$a_{n+1}>a_n,a_3=11$

由 $a_{n+2} = 4a_{n+1} − a_n$，得$4=\dfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_{n}}$

去分母，化简得$a_{n+1}^2-a_na_{n+2}=a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}$

所以$a_{n+1}^2-a_na_{n+2}=a_2^2-a_1a_3=9-1\times11=-2$

将$a_{n+2} = 4a_{n+1} − a_n$带入上式得$a_{n+1}^2-4a_na_{n+1}+a_n^2+2=0$

配方得$(a_{n+1}-2a_n)^2=3a_n^2-2$

假设存在$ k\in N^*$，且$ k>1$， 使得$a_n = 3^k$

于是就有$(a_{n+1}-2\times 3^k)^2=3^{2k+1}-2$

只需要证明$3^{2k+1}-2$不可能为完全平方数即可
刚开始时，想着形式简单，应该不难证明，最后发现事与愿违。。。
@kuing ，@reny ，@isee ，@战巡 ，@hejoseph

uk702

这个问题相当于 \( x^2+ 2 = 3 × 9^n \) 只有{5, 1} 这一组解，不知能否用代数数论的方法求解。

柯召、孙琦两位老师在他们的《谈谈不定方程》一书中，证明了类似的问题  \( x^2+ 7 = 2^n \)  只有 {1, 3}、{3, 4}、{5, 5}、{11, 7}、{181、15} 几组解。

睡神

3楼证明了不存在$a_n=3^k,k＞1$，能否直接说明$3^{2k+1}-2,k＞1$不可能是完全平方数？总感觉有点怪怪的…
如果上述观点成立的话，是不是可以通过改变系数和前两项的数值，模仿此方法证明2楼的猜想？

kuing

睡神 发表于 2024-2-20 21:49
说一下这个猜想的由来，在拜读k神15年撸题集，有这么一个数列题：

题目 2.5.1. 已知 $a_{0} = 1$, $a_{1}  ...

原来是与这题有关……可惜数论是我的弱项，帮不了你啦

PS1、我编辑了 3#，直接粘贴我书上的源码，顺便换了个新链接，可以看到当时的讨论。

PS2、去年在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=10522 也有一道类似的题，你看看有没有帮助啦。

PS3、@某人ID 需要在 ID 后加一个空格才能 @ 成功（别人才会收到提醒）

isee

睡神 发表于 2024-2-20 22:03
然后想到了另一处理方法，就尝试了一下，结果就是试试就逝世。。。
新解：
显然$a_n\in N^*$，且$a_{n+1}>a ...

“代入上式得”，后面那个下标 n+2，应该为 n+1.

如此一来，就是数论问题，真就不懂了~  另牙，在没考虑过反证.

hbghlyj

kuing 发表于 2024-2-21 06:23
PS3、@某人ID 需要在 ID 后加一个空格才能 @ 成功（别人才会收到提醒）

建议允许在“点评”中@其他人
像MathStackExchange一樣

hbghlyj

kuing 发表于 2024-2-21 06:23
PS3、@某人ID 需要在 ID 后加一个空格才能 @ 成功（别人才会收到提醒）

补充：如果在帖子內容末尾，不用后加一个空格，如：@kuing