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本帖最后由 hbghlyj 于 2024-10-13 12:16 编辑 问题缘起
定义1:设四边形ABCD四边的方向恒定,而形状可以变化,则其对角线AC,BD的方向形成平面上直线方向的一种配对,称为"对合".
其实,四边形ABCD只是对合的载体,并不是其本质.
对合的自由度是2.即可由两组方向的配对确定.如在上图中可体现为四边形ABCD两组对边的方向,即AB和CD,AD和BC.
定义2(代数刻画):在平面直角坐标系中,若一对动直线的斜率$k,k'$满足$kk'+m(k+k')+n=0$,则称形成对合关系.
例如上图中,若AB,CD的斜率分别为$k_1,k_1'$,AD,BC的斜率分别为$k_2,k_2'$,则\[kk'+\frac{k_{1} \cdot k_{1}'- k_{2} \cdot k_{2}'}{k_{1} + k_{1}'- k_{2} - k_{2}'}(k+k')+\frac{\left( k_{1}^{'} - k_{2}^{'} \right)k_{1} \cdot k_{2} + \left( k_{1} - k_{2} \right)k_{1}^{'} \cdot k_{2}^{'}}{k_{1} + k_{1}^{'} - k_{2} - k_{2}^{'}}=0
\]
对合的特征
对合背后有一条深刻的二次曲线,称为其"特征曲线".
基本定理1:以对合的任意两组方向为对边,围成的四边形的九点曲线,其形状和方向始终不改变(称为其"特征曲线").
注:当特征曲线为双曲线时,则其形状可能会变为共轭区域的另一支,但两条渐近线的方向仍然不会改变.
基本定理2:对合就是其特征曲线的共轭直径方向的配对.
对合可以分为两类:
当特征曲线为椭圆时,称为"椭圆型";
当特征曲线为双曲线时,称为"双曲型".
(特征曲线为抛物线时是退化的.这时一个方向为抛物线的主轴,另一个方向则可以任意改变.)
定义:特征曲线的主轴方向(彼此垂直)称为其"特征方向".
(特征曲线为圆时,特征方向退化为任意方向.)
定理:以特征方向为轴建立平面直角坐标系,这时对合直线的斜率乘积$K$为定值.
当$K$为正时为双曲型;当$K$为负时为椭圆型.
建议把$K$称为对合的"特征值".
不动方向
对于双曲型对合,恰存在两个不动方向.即两个对合方向重合.
定义3(借助不动方向来定义):若直线l1,l2交于O点,过O再作两条直线l,l',使得l1,l2;l,l'组成调和线束,则称l,l'的方向是对合.
上述定义仅适合于双曲型对合.
直线上的一维对合
直线上周期为2的射影变换即形成对合.
直线上的这种一维对合可分为两类:
(1)双曲型——存在两个不动点.
如上图,直线上取定两点A,B,作出以A,B的极限点的第一类共轴圆系,则其中动圆与直线的两个交点P,Q形成对合.
(2)椭圆型——不存在不动点.
如上图,取直线外的一对轴对称点A,B,作出经过A,B两点的第二类共轴圆系,则其中动圆与直线的两个交点P,Q形成对合.
定义4:若P→Q是直线l上的对合.在直线l外任取一点O,则动直线OP,OQ的方向配对就是对合.
一种描绘对合的有效几何方法
定理:平面上给定⊙O,AB是⊙O的一条固定直径,T是直线AB上的一个定点.
作过T点的动割线PQ,则AP,AQ形成对合.
直线AB及其垂直方向即为对合的特征方向.
当T点在⊙O内时为椭圆型;当T点在⊙O外时为双曲型.
具体定量关系如下:\[K=\frac{\overline{TB}}{\overline{TA}}\]
基本定理3:对合的特征曲线离心率\(e=\sqrt{1 + K}\)
十多年前的一个旧结论定义:若椭圆和双曲线过顶点处的切线围成的矩形彼此位似,称它们是"对偶的".
对偶的二次曲线,其离心率的平方和等于2.
(注:双曲线的离心率必须理解为双值的.即渐近线共用,在两组对顶角区域内的双曲线的离心率不加以区分.)
定理:若二次曲线Ω上的四点A,B,C,D满足AB,CD分别平行于其对偶曲线Ω'的一对共轭直径,则AC,BD或AD,BC也满足同样的关系.
定义:把满足上述关系的四点A,B,C,D称为二次曲线Ω的"和谐四点形".
若Ω是椭圆,利用对合的第三种定义,则"和谐四点形"的对边方向也就是过顶点处的切线围成的矩形的两条对角线为不动方向的对合.
叶中豪曾于2006年8月在乌鲁木齐得到如下有趣的结论:
设A,B,C,D是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上四点.若直线AB,CD的斜率之积$k_{AB}k_{CD}=\frac{b^2}{a^2}$,则直线AC,BD或直线AD,BC的斜率之积也必等于$\frac{b^2}{a^2}$.
注:这时经过A,B,C,D四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率$\frac{c}{a}$
定理:若A,B,C,D是Ω和谐四点形,则过A,B,C,D的其它二次曲线的离心率必大于Ω的离心率.
注:过四个定点的全体二次曲线中,离心率最小的那条称为"Steiner极小二次曲线".
还可将上述结论用一句话来概括:
基本定理4:过四定点的极小二次曲线与其九点曲线是对偶的.
当A,B,C,D是垂心组时,是一种退化情况.这时过这四点的全体二次曲线都是等轴双曲线——此即Poncelet-Brianchon定理.
共轴二次曲线系
定义:若Ω:$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$和Ω':$A'x^2+B'xy+C'y^2+D'x+E'y+F'=0$是平面上任意两条二次曲线,将它们通过线性组合,且只关心二次项系数,无视一次项及常数项,所获得的全体二次曲线称为由Ω和Ω'所张成的"共轴二次曲线系".
共轴二次曲线系是由共轴圆系这一概念拓展而来,但也有不同:它并没有一条可以捉摸的实在的根轴,而是一个相对抽象的集合.
我们比较关心的是找出二次曲线系中离心率最小的那条——即Steiner极小二次曲线.
基本定理5:每一个共轴二次曲线系背后都有一个对合.此对合的特征曲线与Steiner极小二次曲线恰好是对偶的!
基本定理6:共轴二次曲线系的Steiner极小二次曲线恰好是圆的充要条件是系中全体二次曲线的主轴彼此平行(或垂直).
推论:任意两条等轴双曲线所张成的共轴二次曲线系全由等轴双曲线组成.
这是另一种极端情形.因为根据Poncelet-Brianchon定理,这时的极小二次曲线就是等轴双曲线.
(注:在离心率双值的意义下,等轴双曲线的离心率$\sqrt2$已达到一切离心率的最大值了.) |
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