一个猜想不等式

lemondian

若$x,y>0,x+y=1,n\inN^*$，当$n\geqslant 3$时，证明或否定：$(\dfrac{1}{x}-x^n)(\dfrac{1}{y}-y^n)\geqslant (2-\dfrac{1}{2^n})^2$

kuing

易知不等式等价于
\[(1+x+\cdots+x^n)(1+y+\cdots+y^n)\geqslant(2-2^{-n})^2,\]
当 `n=3` 时易证（过程略）；

假设当 `n=k` 时成立，则当 `n=k+1` 时有
\begin{align*}
&(1+x+\cdots+x^k+x^{k+1})(1+y+\cdots+y^k+y^{k+1})\\
={}&\bigl(1+x(1+x+\cdots+x^k)\bigr)\bigl(1+y(1+y+\cdots+y^k)\bigr)\\
={}&1+x(1+x+\cdots+x^k)+y(1+y+\cdots+y^k)+xy(1+x+\cdots+x^k)(1+y+\cdots+y^k)\\
\geqslant{}& 1+x(1+x+\cdots+x^k)+y(1+y+\cdots+y^k)+xy(2-2^{-k})^2\\
={}&2+xy(2-2^{-k})^2+x^2+y^2+x^3+y^3+x^4+y^4+\cdots+x^{k+1}+y^{k+1}\\
={}&2+xy(2-2^{-k})^2+1-2xy+1-3xy+x^4+y^4+\cdots+x^{k+1}+y^{k+1}\\
={}&4+\bigl((2-2^{-k})^2-5\bigr)xy+x^4+y^4+\cdots+x^{k+1}+y^{k+1},\quad(*)
\end{align*}
显然 `(2-2^{-k})^2<5`，由均值有 `xy\leqslant1/4`，由幂平均有 `x^m+y^m\geqslant2^{1-m}`（`\forall m\geqslant1`），所以
\[(*)\geqslant4+\frac{(2-2^{-k})^2-5}4+2^{-3}+2^{-4}+\cdots+2^{-k}=(2-2^{-k-1})^2,\]
可见当 `n=k+1` 时不等式也成立，故由数学归纳法可知原不等式获证。