不动点

hbghlyj

哪些$$z\mapsto\frac{ az + b}{ cz+ d} ,\;a,b,c,d \in \mathbb{Z}, ad - bc = 1 $$有不动点？不动点 只有 $e^{2 \pi i/3}$ 和 $i$ 吗？

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/1231810/ $\tau\inC$，考虑这个函数：$g_2(\tau)=60 \sum\limits_{(m,n)\neq(0,0)}(m+n\tau)^{-4}$，其中求和取遍$(m,n)\inZ^2\setminus(0,0)$. 这帖用旋转120°对称性证明了$g_2$在$\rho=e^{2\pi i/3}$等于0. 证明只用1句：$\left.\begin{aligned}g_2(\rho)=\rho^4 g_2(\rho)\\\rho^4\ne1\end{aligned}\right\}\Rightarrow g_2(\rho)=0.$ $\rho$和它的共轭是所有的根吗？

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香蕉空間上對這個是一筆帶過的，

bananaspace.org/wiki/%E8%AE%B2%E4%B9%89:%E6%A4%AD%E5%9C%86%E6%9B ... A4%E7%BB%93%E6%9E%84 映射 $\bar K-\{0,1\}\rightarrow \bar K,~\lambda\mapsto j(E_{\lambda})$ 是六对一的满射, 除去 $j=0$ 和 $j=1728$ 的原像个数分别为 $2$ 和 $3$.

上一问的证明：

首先计算判别式为 $\Delta=16\lambda^2(\lambda-1)^2$. 由于 $b_2=-4(\lambda+1)$, $b_4=2\lambda$, 因此 $c_4^4=b_2^2-24b_4=16(\lambda+1)^2-48\lambda$. 从而 \[ j(E_{\lambda})=16^3 \frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{16 \lambda^2(\lambda-1)^2}. \]

为什么是六对一呢？粗略看，j的分子是六次的

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产生重根的点 $$\frac{d}{dx}\left(\frac{(x^2 - x + 1)^3}{x^2 (x - 1)^2}\right) =\frac{(x - 2) (x + 1) (2 x - 1) (x^2 - x + 1)^2}{(x - 1)^3 x^3}$$ $\implies x=2,-1,\frac12,e^{\pm\pi i/3}$ $j(2)=j(-1)=j(\frac12)=1728$ $j(e^{\pm\pi i/3})=0$

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--> 香蕉空間後面只有1句話

事实上 $j(e^{2\pi i/3})=0$ 以及 $j(i)=1728$. 而 $e^{2 \pi i/3}$ 和 $i$ 恰好是 $\operatorname{SL}_2(\Bbb Z)/\{\pm I\}$ 作用在 $\mathbb{H}$ 上有非平凡稳定子群的点.

這句話怎麼證明？