三间隙定理

hbghlyj

（以下是我写的旧版本，最新版本：bananaspace.org/w/index.php?title=三间隙定理）
（最新版本好像被删减了。但是我觉得旧版本更详细，故在此处重发一下）
三间隙定理可以用圆上的点来几何地表述：
将 $n$ 点放在圆上，
成 $\theta, 2\theta, \dots, n\theta$ 的角度，
那么圆周相邻位置的点对之间的距离最多有三个不同的值。

等价的代数形式：
对于任何正实数 $\alpha$ 和整数 $n$，
实数 $\alpha, 2\alpha, \dots, n\alpha$ 的小数部分
将 $[0,1]$ 分成的子区间最多有三个不同长度。

这两个问题等价，
因为单位区间可以与圆周长线性对应.

== 证明 ==
将 $n$ 点放在圆上，
成 $\theta, 2\theta, \dots, n\theta$ 的角度，
定义\textbf{间隙}为在两个相邻位置的点之间的圆弧.

如果间隙的端点在 $θ$ 的倍数序列中出现得晚于任何其他相同长度的间隙，
则将其定义为\textbf{末间隙}。
根据这个定义，对每个间隙长度，都有唯一的末间隙，具有此长度。

如果 $A$ 是末间隙，则旋转 $θ$ 为 $A + θ$ 不是间隙
（因为它具有相同的长度并且端点出现得晚一步）。
发生这种情况可能是 $A$ 的端点之一为最后一个点 $nθ$
（这样 $A + θ$ 的一个端点 $(n+1)\theta$ 不是给定点），
或者 $n$ 个点 $\theta, 2\theta, \dots, n\theta$
之一落在 $A+θ$ 内（因为间隙的两个端点必须在圆上相邻）。

这个落在 $A+θ$ 内的点只可能是第一个点 $\theta$
（否则在序列中的前一个点将落在弧 $A$ 内，
与 $A$ 是间隙的假设相矛盾），因此 $0$ 落在弧 $A$ 内。

因此，最多有 3 个末间隙，点 $n\theta$ 的左、右侧各 1 个，
最后一个是使得 $0$ 落在它内的间隙。

因为最多有 3 个末间隙，所以最多有 3 个间隙长度。


== 例子 ==
\begin{example}
    $\theta=\log_2(3/2)\cdot2\pi$,
    将 $13$ 个点放在圆上,
    成 $\theta, 2\theta, \dots, 13\theta$ 的角度，
    那么圆周相邻位置的点对之间的距离有三个不同的值。
    \begin{enumerate}
        \item
        $|\theta-13\theta|$
        对应于上面的证明中，最后一个点 $13\theta$ 的左侧的间隙
        \item
        $|13\theta-8\theta|$
        对应于上面的证明中，最后一个点 $13\theta$ 的右侧的间隙
        \item
        $|5\theta-12\theta|$
        对应于上面的证明中，使得 $0$ 落在它内的间隙
    \end{enumerate}

\end{example}

\begin{example}
    $\alpha ={\sqrt {2}}$ 的 $1,\ldots,4$ 倍的小数部分为：
    \[
        \{\alpha \}={\sqrt {2}}-1
    \\
        \{2\alpha \}=2{\sqrt {2}}-2
    \\
        \{3\alpha \}=3{\sqrt {2}}-4
    \\
        \{4\alpha \}=4{\sqrt {2}}-5
    \]
    我们有：
    \[0<\{3\alpha \}<\{\alpha \}<\{4\alpha \}<\{2\alpha \}<1\]
    五个区间的长度分别为：
    \[3{\sqrt {2}}-4;\ 3-2{\sqrt {2}};\ 3{\sqrt {2}}-4;\ 3-2{\sqrt {2}};\ 3-2{\sqrt {2}}\]
    在本例中，这些长度只有两个不同的值。
\end{example}

1. [[分类:组合几何]]
2. {{ Transbox
3.     | {{ Translist
4.         | title = 三间隙定理
5.         | en = three-gap theorem
6.         | fr = théorème des trois longueurs
7.     }}
8. }}

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