请教一道期望与方差

hjfmhh

战巡

穷举显然是能解决问题的，然而我并不想穷举

令$N$为男生的数量，显然$N=0,1,2$，且
\[P(N=0)=\frac{1}{5}, P(N=1)=\frac{3}{5}, P(N=2)=\frac{1}{5}\]
这样会带来
\[E(N)=1,Var(N)=E[(N-E(N))^2]=\frac{2}{5}\]

令$Y_i$iid$\{1,2,3\}$均匀分布，为男生选课数量，$Z_i$iid$\{1,2\}$均匀分布，为女生选课数量，且$Y$和$Z$全部独立，很容易得到
\[E(Y_i)=2, E(Z_i)=\frac{3}{2}, Var(Y_i)=\frac{2}{3}, Var(Z_i)=\frac{1}{4}\]

那么就有
\[(X|N=0)=10(Z_1+Z_2+Z_3)\]
\[(X|N=1)=10(Y_1+Z_1+Z_2)\]
\[(X|N=2)=10(Y_1+Y_2+Z_1)\]
于是
\[E(X|N=0)=E[10(Z_1+Z_2+Z_3)]=45\]
\[E(X|N=1)=E[10(Y_1+Z_1+Z_2)]=50\]
\[E(X|N=2)=E[10(Y_1+Y_2+Z_1)]=55\]
综合起来即
\[E(X|N)=45+5N\]

同样
\[Var(X|N=0)=Var[10(Z_1+Z_2+Z_3)]=75\]
\[Var(X|N=1)=Var[10(Y_1+Z_1+Z_2)]=\frac{350}{3}\]
\[Var(X|N=2)=Var[10(Y_1+Y_2+Z_1)]=\frac{475}{3}\]
综合起来
\[Var(X|N)=75+\frac{125}{3}N\]

最后就有
\[E(X)=E[E(X|N)]=E(45+5N)=50\]
\[Var(X)=Var(E(X|N))+E(Var(X|N))\]
\[=Var(45+5N)+E(75+\frac{125}{3}N)\]
\[=25Var(N)+75+\frac{125}{3}E(N)\]
\[=\frac{380}{3}\]

hjfmhh

战巡 发表于 2024-3-8 17:42
穷举显然是能解决问题的，然而我并不想穷举

令$N$为男生的数量，显然$N=0,1,2$，且

这是给的答案，答案不一样，错在哪里？

战巡

hjfmhh 发表于 2024-3-8 22:04
这是给的答案，答案不一样，错在哪里？

这不明摆着错么，谁说一名男生/女生参加可固定获得20/15分的？这整一层随机给它吃掉了？

hjfmhh

战巡 发表于 2024-3-8 17:42
穷举显然是能解决问题的，然而我并不想穷举

令$N$为男生的数量，显然$N=0,1,2$，且

弱弱的问一句：这个公式怎么来的Var(X)=Var(E(X|N))+E(Var(X|N))

战巡

hjfmhh 发表于 2024-3-8 23:12
弱弱的问一句：这个公式怎么来的Var(X)=Var(E(X|N))+E(Var(X|N))

这就只能说高中教材学啥都半吊子了，这个公式在概率论里面往往是作为习题要你证明的，最起码你得知道有这么回事

证明并不复杂

对于随机变量$X,Y$，恒有
\[Var(X)=Var[E(X|Y)]+E[Var(X|Y)]\]
证明：
\[Var(X)=E(X^2)-E(X)^2\]
\[=E[E(X^2|Y)]-E[E(X|Y)]^2\]
\[=E[Var(X|Y)+E(X|Y)^2]-E[E(X|Y)]^2\]
\[=E[Var(X|Y)]+E[E(X|Y)^2]-E[E(X|Y)]^2\]
\[=E[Var(X|Y)]+Var[E(X|Y)]\]