求证切线

hbghlyj

点A、P为任意点，
过P作OA的平行线交圆O于Q、S，
QA交圆O于R，SA交圆O于T，RT交OA于U，
以U为中心过A作圆，交圆O于V，
求证$OV\perp VU$

来源：是在研究这题时发现的。这里的点U在圆O、点圆A的根轴上。
一圆O和一点圆A的根轴的作图法：
设 A’ 为 A 关于圆 O 的反演，取 AA’ 的中点 U，则过 U 的 OA 垂线就是圆O和点圆A的根轴

hbghlyj

突然发现……这题其实很简单：
$\because\angle UAR=\angle SQR=\angle STR$
$\therefore\triangle UAR\sim\triangle UTA$
$\therefore UA^2=UR\cdot UT$
$\therefore UV^2=UR\cdot UT$
$\therefore UV$是圆$O$的切线。