三角形内动点，夹角已知，求内接三角形面积最大值

hejoseph

已知 $\triangle ABC$ 和三个角度 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，点 $D$、$E$、$F$ 分别在直线 $BC$、$CA$、$AB$ 上， $\triangle ABC$ 内的动点 $P$ 满足 $\angle BDP=\alpha$，$\angle CEP=\beta$，$\angle AFP=\gamma$，求 $\triangle DEF$ 面积的最大值。



解法的半成品：设点 $P$ 对 $\triangle ABC$ 的重心坐标为 $(x,y,z)$，其中 $x+y+z=1$，由于点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内，则 $x$、$y$、$z$ 都为正数。设 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，则 $\triangle PCA$ 边 $CA$ 的高为 $\dfrac{2yS}{b}$，所以
\[
PE=\frac{2yS}{b\sin\beta}，
\]
同理可得
\[
PF=\frac{2zS}{c\sin\gamma}，
\]
容易计算得
\[
\angle EPF=180^\circ-(A-\beta+\gamma)，
\]
所以
\[
S_{\triangle PEF}=\frac{1}{2}\cdot PE\cdot PF\cdot \sin\angle EPF=\frac{2S^2\sin(A-\beta+\gamma)}{bc\sin\beta\sin\gamma}yz，
\]
同理得
\[
S_{\triangle PFD}=\frac{2S^2\sin(B-\gamma+\alpha)}{ca\sin\gamma\sin\alpha}zx，S_{\triangle PDE}=\frac{2S^2\sin(C-\alpha+\beta)}{ab\sin\alpha\sin\beta}xy，
\]
所以
\[
S_{\triangle DEF}=2S^2\left(\frac{\sin(A-\beta+\gamma)}{bc\sin\beta\sin\gamma}yz+\frac{\sin(B-\gamma+\alpha)}{ca\sin\gamma\sin\alpha}zx+\frac{\sin(C-\alpha+\beta)}{ab\sin\alpha\sin\beta}xy\right)，
\]
问题就变为 $p$、$q$、$r$ 为常数，在 $x>0$，$y>0$，$z>0$，$x+y+z=1$ 时求 $pyz+qzx+rxy$ 的最大值。

把 $z=1-x-y$ 代入 $pyz+qzx+rxy$ 配方得
\[
pyz+qzx+rxy=\frac{pqr}{k}-q\left(x+\frac{p+q-r}{2q}y-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{k}{4q}\left(y-\frac{q(p+r-q)}{k}\right)^2，
\]
这里 $k=2pq+2pr+2qr-p^2-q^2-r^2$。如果$p$、$q$、$r$、$k$ 都是正数，结论很好看，最大值为$\dfrac{pqr}{k}$，在
\[
x=\frac{p(q+r-p)}{k}，y=\frac{q(p+r-q)}{k}，z=\frac{r(p+q-r)}{k}，
\]
时取得等号。其余情况不太好分类，结论可能也不简洁。

kuing

问题就变为 $p$、$q$、$r$ 为常数，在 $x>0$，$y>0$，$z>0$，$x+y+z=1$ 时求 $pyz+qzx+rxy$ 的最大值。

有时会在边界取最大，所以改成 `x`, `y`, `z\geqslant0`, `x+y+z=1` 吧，记 `T=pyz+qzx+rxy`。

（1）若 `p`, `q`, `r` 中有负数，比如 `p<0`，则代 `z=1-x-y` 后可知 `T` 为关于 `y` 的开口向上的二次函数，则最大值只能在端点取得，即只需考虑 `y=0` 或 `z=0` 的情况即可，对于 `y=0`，若 `q>0` 则 `x=z=0.5` 时取最大值 `q/4`，若 `q\leqslant0` 则最大值为 `0`，`z=0` 时同理。

所以这种情况下 `T` 的最大值为 `\max\{p/4,q/4,r/4,0\}`；

（2）若 `p`, `q`, `r\geqslant0` 且不全为零且 `pqr=0` 时，比如 `p`, `q\geqslant0`, `r=0`，记 `M=\max\{p/4,q/4\}`，则
\begin{align*}
M-T&=M(x+y+z)^2-z(qx+py)\\
&=M\left(x+y+z-\frac{qx+py}{2M}\right)^2+\frac{(4Mx+4My-qx-py)(qx+py)}{4M},
\end{align*}
由 `4M\geqslant p`, `q` 可知上式非负，所以 `T\leqslant M`，而当 `y=z=0.5` 时 `T=p/4`，`x=z=0.5` 时 `T=q/4`，所以等号一定能取。

所以这种情况下 `T` 的最大值是 `\max\{p/4,q/4,r/4\}`；

（3）当 `p`, `q`, `r>0` 且不能构成三角形时，不妨设 `r\geqslant p+q`，此时有
\begin{align*}
r-4T&=r(x+y+z)^2-4(pyz+qzx+rxy)\\
&=p(x-y+z)^2+q(y-x+z)^2+(r-p-q)\bigl((x-y)^2+z(2x+2y+z)\bigr)\\
&\geqslant0,
\end{align*}
所以 `T\leqslant r/4`，当 `x=y=0.5` 时取等。

所以这种情况下 `T` 的最大值仍然是 `\max\{p/4,q/4,r/4\}`；

（4）当 `p`, `q`, `r` 能构成三角形时，复制一下我以前在 https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=10200#pid50465（15#）里写过的
\begin{align*}
&(x+y+z)^2-\frac{2(pq+qr+rp)-p^2-q^2-r^2}{pqr}(pyz+qzx+rxy)\\
={}&\left(x+y+z-\frac{2(pq+qr+rp)-p^2-q^2-r^2}{2pqr}(ry+qz)\right)^2\\
&+\frac{2(pq+qr+rp)-p^2-q^2-r^2}{4p^2q^2r^2}\bigl((p+q-r)ry-(p-q+r)qz\bigr)^2,
\end{align*}
记 `k=2(pq+qr+rp)-p^2-q^2-r^2`，由 `p`, `q`, `r` 能构成三角形可知 `\sqrt p`, `\sqrt q`, `\sqrt r` 也能构成三角形，则 `k=\bigl(\sqrt p+\sqrt q+\sqrt r\bigr)\prod\bigl(\sqrt p+\sqrt q-\sqrt r\bigr)>0`，所以上式非负，即得
\[pyz+qzx+rxy\leqslant\frac{pqr}k,\]
当 `x=p(q+r-p)/k`, `y=q(p+r-q)/k`, `z=r(p+q-r)/k` 时取等。

综上所述，当 `p`, `q`, `r` 能构成三角形时 `T` 的最大值为 `pqr/k`，其余情况最大值为 `\max\{p/4,q/4,r/4,0\}`。

To 楼主：即使 `p`, `q`, `r`, `k` 都为正数，也存在 `p>q+r` 的可能，并不一定能取到 `x=p(q+r-p)/k` 等。
（我刚才也差点犯了这错😅

hejoseph

确实如上面所说，但也并不是想象中那么简单，如果是这种情形，用最上面的计算得到是负数，还需要修补。

点 $P$ 为 $\triangle ABC$ 某一顶点时 $\triangle DEF$ 面积为 $0$，条件改为 $0\leq x\leq 1$，$0\leq y\leq 1$，$0\leq z\leq 1$，$x+y+z=1$，因此只要求得 $pyz+qxz+rxy$ 的范围，假定为 $[u,v]$，那么 $\triangle DEF$ 的能取到的范围即 $[0,\max\{|u|,v\}]$。