二次曲面在平行平面上的截面的离心率相等吗

hbghlyj

Determination of circular sections of a quadric这篇百科文章在Proof of property (P) 证明了「如果二次曲面在一平面上的截面是圆，则在任何平行平面上的截面都是圆（或点或空集）」

If the intersection of a plane and a quadric is a circle, then any parallel plane, that contains at least two points of the quadric, intersects the quadric in a circle, too.

一般地，二次曲面在平行平面上的截面的离心率相等吗？
对于锥面和柱面来说显然成立（因为锥面可以关于顶点放缩、柱面可以平移）
但一般的二次曲面呢？

hejoseph

这是肯定的，平行平面内离心率相等的二次曲线在一定平面内的投影二次曲线的离心率也相等，反之也成立，因此只要看投影曲线就行，例如平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 与椭球面 $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$（其中 $A$、$B$、$C$ 为常数且 $C\neq 0$） 在平面 $xOy$ 的投影曲线，上面两方程消去 $z$ 后整理，由于二次曲线的离心率只跟二次项有关，这个式子的二次项为 $b^2(a^2A^2+c^2C^2)x^2+2a^2b^2ABxy+a^2(b^2B^2+c^2C^2)y^2$，与 $D$ 无关，因此离心率必定相等。若 $C=0$ 则根据具体情况选择在 $xOz$ 平面或 $yOz$ 平面投影就可以了。

hejoseph

下面链接里我发过求截线一些重要几何量的结论：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=6178