billiard table 从角点开始45°发球，轨迹自交点数

hbghlyj

在 $p:q$ ($p,q\inZ_+$) 的矩形台球桌上，方向 45 度，从角点开始发球，轨迹有多少个自交点？

7:5有12个交点：

7:3有6个交点：

矩形內部格点数$(p-1)(q-1)$除以2

来自第8页

hbghlyj

在 $p:q$ ($p,q\inZ_+$) 的矩形台球桌上，方向 45 度，从一般的点开始发球，轨迹有多少个自交点？
mathcurve.com說，有$p(q-1)+q(p-1)$个自交点。如何證明

例如7:5有7×4+5×6=58个交点：

hbghlyj

Multiple Points on Lissajous's Curves in Two and Three Dimensions, Edward A. Hook, Annals of Mathematics

這裡有一個證明，但是没看懂……