Trammel of Archimedes

hbghlyj

刚体三角形ABC的顶点A,B在两条交于O的直线上运动，求证：点C的轨迹是一个椭圆

AOB为直角时的证明：取AB中点M，则OM=AB/2是定长，在MC上截取ME=MO，作M关于OE的对称点M'，以O为圆心,OM+CM为半径作圆交AO于C'，则C'M'=CM.

∵EM=OM，且M,M'关于EO对称，
∴OMEM'为菱形，
∴C'M'∥CM，
∴CC'M'M为平行四边形，
∴CC'⊥OE.

设直线C'C,OE交于D,
CM是三角形ABC的中线，故CM是定值，而OM也是定值，故圆O的半径OM+CM为定值，那么C'的轨迹就是这个圆O。要证明C的轨迹是以OE为轴的椭圆，只需证$CD\over CC'$是定值：

$CD\over CC'$=$CD\over MM'$=$EC\over2EM$=定值
由此得出椭圆的长轴和短轴之比为$CD\over C'D$=$EC\over EC+2EM$=$|CM-EM|\over CM+EM$=$|2CM-AB|\over2CM+AB$
椭圆的长轴等于圆O的直径，等于2(OM+CM)=2CM+AB
因此，短轴为|2CM-AB|
焦距为2√(2CM·AB).

当三角形ABC退化为线段时仍成立.利用这个原理可以设计作椭圆的机械,称为“Trammel of Archimedes”：

kuing

matrix67.com/blog/archives/2896

hbghlyj

有没有作抛物线、双曲线的滑杆呢