射線關於兩個垂直的平面旋轉$α,β$後，夹角介於$α,β$之間

hbghlyj

$\mathbb R^4$中，任意經過原点的射綫OP，
$ −π < α< β < π$
在 Oxy 平面關於O旋轉，角度$ α$，
然後在 Ozw 平面關於O旋轉，角度$ β$，
射綫 OP 被旋轉到射綫 OP'
設 P 不在 Oxy 平面或 Ozw 平面上。
求證：射綫 OP 和 OP' 的夹角 $\in(\alpha,\beta)$.

hbghlyj

設 $x^2+y^2+z^2+w^2=1$.
在 xy 平面上旋转角度 $\alpha$，
\begin{align*}
x' &= x \cos(\alpha) - y \sin(\alpha) \\
y' &= x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha) \\
z' &= z \\
w' &= w
\end{align*}
然后，在 zw 平面上旋转角度 $\beta$,
\begin{align*}
x'' &= x' \\
y'' &= y'\\
z'' &= z' \cos(\beta) - w' \sin(\beta) \\
w'' &= z' \sin(\beta) + w' \cos(\beta)
\end{align*}得 $(x'', y'', z'', w'')$，再代入計算內積
\[\cos\theta=xx''+yy''+zz''+ww''\]
即
\[\cos\theta= x \cdot ( x \cos(\alpha) - y \sin(\alpha) )+ y \cdot(x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha) )+ z\cdot (z \cos(\beta) - w \sin(\beta)) + w\cdot (z\sin(\beta) + w\cos(\beta))
\]
即
\[\cos\theta=  (x^2+y^2) \cos(\alpha) + ( z^2+w^2) \cos(\beta)
\]
因為 $x^2+y^2+z^2+w^2=1$，上式表明$\cos\theta$介於$\cos\alpha$與$\cos\beta$之間。證畢😀。

hbghlyj

當$\cos(\alpha)=\cos(\beta)$時，
\[\cos(\theta)=  (\underbrace{x^2+y^2+z^2+w^2}_{=1}) \cos(\alpha)
\]
故$\cos(\theta)= \cos(\alpha)=\cos(\beta)$，
每條射線被旋轉的角度都相等！
Isoclinic rotations
在這種情況下，任意其它的二垂直平面也可被取作旋轉平面。

而對於$\cos(\alpha)\ne\cos(\beta)$的情況，“旋轉平面”是由4d旋轉唯一確定的。